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第四章 一元函数积分学

华赛教育 · 数学教研组 ｜ 共 7 节、262 道编号题：第一节 49 题；第二节 79 题；第三节 13 题；第四节 52 题；第五节 41 题；第六节 5 题；第七节 23 题

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第一节 不定积分的概念和性质 · 经典练习（共 6 题）

  1. 经典练习 1
    设 $F(x)$ 是可导函数 $f(x)$ 的一个原函数，$C$ 为任意常数，则下列等式不正确的是（　　）
    A. $\int f'(x)\,dx=f(x)+C$B. $\left[\int f(x)\,dx\right]'=f(x)$C. $\int f(x)\,dx=F(x)+C$D. $\int F(x)\,dx=f(x)+C$
    答案：D
    1. 由 $F'(x)=f(x)$，可知 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数。
    2. A、B、C 分别是基本积分公式、变上限积分求导和原函数定义，均正确。
    3. D 中 $\int F(x)\,dx$ 的原函数应满足导数等于 $F(x)$，不能直接写成 $f(x)+C$。
  2. 经典练习 2
    已知 $\int f(x)\,dx=\tan x+C$，$\int g(x)\,dx=2^x+C$，其中 $C$ 为任意常数，则下列等式正确的是（　　）
    A. $\int f(x)g(x)\,dx=2^x\tan x+C$B. $\int \dfrac{f(x)}{g(x)}\,dx=2^{-x}\tan x+C$C. $\int f[g(x)]\,dx=\tan(2^x)+C$D. $\int [f(x)+g(x)]\,dx=\tan x+2^x+C$
    答案：D
    1. 不定积分具有线性性质，所以 $\int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$。
    2. 代入已知结果，得 $\tan x+2^x+C$。
    3. 乘积、商和复合函数的积分不能把已知原函数直接相乘或复合。
  3. 经典练习 3
    已知 $3^x$ 是函数 $f(x)$ 的一个原函数，则 $f(x)=$（　　）
    A. $3$B. $3^x\ln3$C. $x3^{x-1}$D. $\dfrac{3^x}{\ln3}$
    答案：B
    1. 若 $3^x$ 是 $f(x)$ 的原函数，则 $f(x)=(3^x)'$。
    2. 由指数函数求导公式，$(3^x)'=3^x\ln3$。
  4. 经典练习 4
    已知 $\int f(x)\,dx=x^2+C$，其中 $C$ 为任意常数，则 $\int f(x^2)\,dx=$（　　）
    A. $x^5+C$B. $x^4+C$C. $\dfrac12x^4+C$D. $\dfrac23x^3+C$
    答案：D
    1. 对已知等式两边求导，得 $f(x)=2x$。
    2. 因此 $f(x^2)=2x^2$。
    3. 积分得 $\int2x^2dx=\dfrac23x^3+C$。
  5. 经典练习 5
    若 $f(x)=\displaystyle\int\dfrac{\tan x}{x}\,dx$，则 $f'(\pi)=$　______。
    答案：$0$
    1. 对不定积分表示的函数求导，得 $f'(x)=\dfrac{\tan x}{x}$。
    2. 代入 $x=\pi$，$\tan\pi=0$，所以 $f'(\pi)=0$。
  6. 经典练习 6
    计算不定积分 $\displaystyle\int\left(\dfrac1{\sqrt[3]{x}}-\dfrac1x+3^x+\dfrac1{\sin^2x}\right)dx$。
    答案：$\dfrac32\sqrt[3]{x^2}-\ln|x|+\dfrac{3^x}{\ln3}-\cot x+C$
    1. 将 $\dfrac1{\sqrt[3]{x}}$ 写成 $x^{-1/3}$，其积分为 $\dfrac32x^{2/3}$。
    2. 分别使用 $\int\frac1x dx=\ln|x|$、$\int3^xdx=\frac{3^x}{\ln3}$、$\int\csc^2x dx=-\cot x$。
    3. 合并并加积分常数，得 $\dfrac32x^{2/3}-\ln|x|+\dfrac{3^x}{\ln3}-\cot x+C$。

第一节 不定积分的概念和性质 · 单项选择题（共 22 题）

  1. 单项选择题 1
    $\int f(x)\,dx$ 的意义是（　　）
    A. 表示一个极限值B. 表示一个常数C. 表示一个函数D. 表示一个函数族
    答案：D
    1. 不定积分表示函数的全体原函数。
    2. 全体原函数由任意常数 $C$ 区分，因此是一个函数族。
  2. 单项选择题 2
    已知 $f(x)$ 可导，则 $d\int df(x)=$（　　）
    A. $f(x)+C$B. $f(x)\,dx$C. $f'(x)+C$D. $f'(x)\,dx$
    答案：D
    1. $\int df(x)=\int f'(x)dx=f(x)+C$。
    2. 再取微分：$d[f(x)+C]=f'(x)dx$。
  3. 单项选择题 3
    已知 $f(x)$ 可导，则 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int f(x^3)\,dx=$（　　）
    A. $f(3x^2)$B. $3x^2f'(x^3)$C. $3x^2f(x^3)$D. $f(x^3)$
    答案：D
    1. 不定积分再求导，二者互为逆运算。
    2. 因此 $\left[\int f(x^3)dx\right]'=f(x^3)$，不需要再对 $x^3$ 求导。
  4. 单项选择题 4
    若 $f'(x)$ 连续，则下列等式正确的是（　　）
    A. $\int df(x)=f(x)+C$B. $d\int f(2x)\,dx=f(2x)$C. $d\int f'(x)\,dx=f(x)$D. $\left(\int f'(x)\,dx\right)'=f(x)$
    答案：A
    1. $\int df(x)=\int f'(x)dx=f(x)+C$，A 正确。
    2. 对不定积分取微分仍应带 $dx$；对 $\int f'(x)dx=f(x)+C$ 求导得到的是 $f'(x)$。
  5. 单项选择题 5
    下列各组函数中是同一函数的原函数的是（　　）
    A. $\sqrt x+1$ 与 $2\sqrt x+1$B. $\ln x^2$ 与 $\ln2x$C. $e^{3x}$ 与 $3e^x$D. $-\cos^2x$ 与 $\sin^2x$
    答案：D
    1. $(-\cos^2x)'=2\sin x\cos x=\sin2x$。
    2. $(\sin^2x)'=2\sin x\cos x=\sin2x$。
    3. 两者导数相同，且相差常数 $1$，故为同一函数的两个原函数。
  6. 单项选择题 6
    设 $F(x),G(x)$ 是区间 $I$ 内连续函数 $f(x)$ 的两个原函数，则在 $I$ 内必有（　　）
    A. $F(x)-G(x)=0$B. $F(x)+G(x)$ 为常数C. $F(x)+G(x)=0$D. $F(x)-G(x)$ 为常数
    答案：D
    1. 两原函数之差满足 $[F(x)-G(x)]'=f(x)-f(x)=0$。
    2. 导数恒为零的连续函数为常数，所以 $F(x)-G(x)=C$。
  7. 单项选择题 7
    函数 $\sin x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内的导函数与一个原函数分别是（　　）
    A. $\cos x,\ \sin x$B. $\cos x,\ \cos x$C. $-\cos x,\ \sin x$D. $\cos x,\ -\cos x$
    答案：D
    1. $(\sin x)'=\cos x$。
    2. $(-\cos x)'=\sin x$，所以 $-\cos x$ 是一个原函数。
  8. 单项选择题 8
    设 $f(x)$ 的一个原函数为 $\ln5x$，则 $f(x)=$（　　）
    A. $\dfrac1x$B. $\dfrac5x$C. $-\dfrac5{x^2}$D. $-\dfrac1{x^2}$
    答案：A
    1. $f(x)=(\ln5x)'$。
    2. $\ln5x=\ln5+\ln x$，导数为 $\dfrac1x$。
  9. 单项选择题 9
    已知函数 $f(x)$ 的一个原函数是 $\dfrac13x^3$，则 $f'(x)=$（　　）
    A. $x^2$B. $2x$C. $2$D. $\dfrac{2x}{3}$
    答案：B
    1. 由原函数定义，$f(x)=\left(\dfrac13x^3\right)'=x^2$。
    2. 再求导得 $f'(x)=2x$。
  10. 单项选择题 10
    已知 $\dfrac13x^3$ 的一个原函数是 $F(x)$，则 $F'(x)=$（　　）
    A. $x^2$B. $\dfrac13x^3$C. $2x$D. $x$
    答案：A
    1. “$F(x)$ 是 $\dfrac13x^3$ 的原函数”等价于 $F'(x)=\dfrac13x^3$。
    2. 题目实际求的是 $F''(x)$，即 $\left(\dfrac13x^3\right)'=x^2$。
  11. 单项选择题 11
    若 $f(x)$ 的导函数是 $1$，且 $f(0)=5$，则 $f(x)=$（　　）
    A. $x^2+5$B. $5$C. $x+5$D. $\dfrac12x^2+5$
    答案：C
    1. 由 $f'(x)=1$，积分得 $f(x)=x+C$。
    2. 利用 $f(0)=5$，得 $C=5$，所以 $f(x)=x+5$。
  12. 单项选择题 12
    若 $\int f(x)\,dx=e^{x^3}+C$，则 $f(x)=$（　　）
    A. $3x^2e^{x^3}$B. $e^{x^3}$C. $x^3e^{x^3}$D. $e^{3x^2}$
    答案：A
    1. 两边求导，得 $f(x)=(e^{x^3})'$。
    2. 由复合函数求导，$f(x)=e^{x^3}\cdot3x^2=3x^2e^{x^3}$。
  13. 单项选择题 13
    若 $\int f(\sqrt[3]{x})\,dx=2x^2+C$，则 $f(x)=$（　　）
    A. $2x^2$B. $x^3$C. $x^4$D. $4x^3$
    答案：D
    1. 令 $u=\sqrt[3]{x}$，则 $x=u^3$，$dx=3u^2du$。
    2. 已知积分化为 $\int f(u)\cdot3u^2du=2u^6+C$。
    3. 两边求导：$3u^2f(u)=12u^5$，故 $f(u)=4u^3$，即 $f(x)=4x^3$。
  14. 单项选择题 14
    设 $\int f(x)\,dx=\dfrac12\ln(1+x^2)+C$，则 $\displaystyle\int\dfrac1x f(x)\,dx=$（　　）
    A. $\arctan x+C$B. $\operatorname{arccot}x+C$C. $\dfrac1{2x}\ln(1+x^2)+C$D. $\dfrac1x+C$
    答案：A
    1. 对已知积分求导，$f(x)=\left[\dfrac12\ln(1+x^2)\right]'=\dfrac{x}{1+x^2}$。
    2. 因而 $\dfrac1x f(x)=\dfrac1{1+x^2}$。
    3. 积分为 $\arctan x+C$。
  15. 单项选择题 15
    已知 $f(x)=\displaystyle\int e^{x/2}\,dx$，则 $f'(0)=$（　　）
    A. $1$B. $\dfrac14$C. $2$D. $\dfrac12$
    答案：A
    1. 对不定积分求导，直接得到 $f'(x)=e^{x/2}$。
    2. 因此 $f'(0)=e^0=1$。
  16. 单项选择题 16
    设 $f(x)$ 有一个原函数 $\dfrac2x$，则 $\int f'(x)\,dx=$（　　）
    A. $-\dfrac2{x^2}$B. $\dfrac2x$C. $-\dfrac2{x^2}+C$D. $\dfrac2x+C$
    答案：C
    1. 由原函数定义，$f(x)=\left(\dfrac2x\right)'=-\dfrac2{x^2}$。
    2. $\int f'(x)dx=f(x)+C=-\dfrac2{x^2}+C$。
  17. 单项选择题 17
    若 $f(x)$ 的一个原函数为 $e^{-x}$，则 $\left[\int f(2x)\,dx\right]'=$（　　）
    A. $e^{-x}$B. $e^{-2x}$C. $-e^{-2x}$D. $\dfrac12e^{-2x}$
    答案：C
    1. 对不定积分求导，得 $f(2x)$。
    2. 由原函数定义，$f(x)=(e^{-x})'=-e^{-x}$。
    3. 所以 $f(2x)=-e^{-2x}$。
  18. 单项选择题 18
    设 $f(x)=x^2$，则 $\int xf'(x)\,dx=$（　　）
    A. $x^3-x^2+C$B. $x^2-\dfrac13x^3+C$C. $\dfrac23x^3+C$D. $\dfrac13x^3+C$
    答案：C
    1. $f'(x)=2x$，所以 $xf'(x)=2x^2$。
    2. $\int2x^2dx=\dfrac23x^3+C$。
  19. 单项选择题 19
    不定积分 $\displaystyle\int\dfrac1{x^3}\,dx=$（　　）
    A. $\dfrac1{x^4}+C$B. $-\dfrac1{x^4}+C$C. $\dfrac1{4x^4}+C$D. $-\dfrac1{4x^4}+C$
    答案：按选项应选 D；题面指数疑为 $5$
    1. 若按清晰可见的题面计算：$\int x^{-3}dx=-\dfrac1{2x^2}+C$，选项中没有对应结果。
    2. 四个选项均对应 $\int x^{-5}dx=-\dfrac1{4x^4}+C$，可判断扫描题面的指数应为 $5$，因此选 D。
    3. 这里保留原题印刷差异，并给出两种判断依据。
  20. 单项选择题 20
    不定积分 $\displaystyle\int(x^{-2}+e^{-x})\,dx=$（　　）
    A. $-\dfrac1x+e^{-x}+C$B. $-\dfrac1x-e^{-x}+C$C. $-\dfrac1{2x^2}-e^{-x}+C$D. $\dfrac1{3x^3}-e^{-x}+C$
    答案：B
    1. $\int x^{-2}dx=-x^{-1}=-\dfrac1x$。
    2. $\int e^{-x}dx=-e^{-x}$。
    3. 合并得 $-\dfrac1x-e^{-x}+C$。
  21. 单项选择题 21
    曲线 $y=f(x)$ 经过点 $(1,0)$，且在其上任一点 $x$ 处的切线斜率为 $3x^2$，则该曲线方程是（　　）
    A. $y=x^3-1$B. $y=x^2-1$C. $y=x^3+1$D. $y=x^3+C$
    答案：A
    1. 由切线斜率 $y'=3x^2$，积分得 $y=x^3+C$。
    2. 曲线过点 $(1,0)$，所以 $0=1+C$，得 $C=-1$。
    3. 曲线为 $y=x^3-1$。
  22. 单项选择题 22
    不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{x^2+x-2}{x-1}\,dx=$（　　）
    A. $\dfrac12x^2+2x+C$B. $\dfrac12x^2+x+C$C. $x^2+2x+C$D. $x^2+x+C$
    答案：A
    1. 分解分子：$x^2+x-2=(x-1)(x+2)$。
    2. 约去 $x-1$，被积函数化为 $x+2$。
    3. 积分得 $\dfrac12x^2+2x+C$。

第一节 不定积分的概念和性质 · 填空题（共 8 题）

  1. 填空题 1
    设函数 $f(x),g(x)$ 均可微，且同为某函数的原函数，$f(1)=3,g(1)=1$，则 $f(x)-g(x)=$　______。
    答案：$2$
    1. 两个原函数之差为常数，设 $f(x)-g(x)=C$。
    2. 代入 $x=1$，$C=f(1)-g(1)=3-1=2$。
  2. 填空题 2
    已知 $\int f(x)\,dx=3^x+x+C$，则 $f(x)=$　______。
    答案：$3^x\ln3+1$
    1. 对积分结果求导即可得到被积函数。
    2. $f(x)=(3^x+x)'=3^x\ln3+1$。
  3. 填空题 3
    $\displaystyle\int d(\ln^2x)=$　______。
    答案：$\ln^2x+C$
    1. 对任意可微函数 $u$，都有 $\int du=u+C$。
    2. 取 $u=\ln^2x$，即得结果。
  4. 填空题 4
    不定积分 $\displaystyle\int\left(\dfrac1x+\dfrac2{x^2}\right)dx=$　______。
    答案：$\ln|x|-\dfrac2x+C$
    1. $\int2x^{-2}dx=2\cdot(-1)x^{-1}=-\dfrac2x$。
    2. 再加上 $\int\frac1x dx=\ln|x|$，并加常数 $C$。
  5. 填空题 5
    不定积分 $\displaystyle\int(2x+3)\,dx=$　______。
    答案：$x^2+3x+C$
    1. 逐项积分：$\int2x dx=x^2$。
    2. $\int3dx=3x$，合并后加 $C$。
  6. 填空题 6
    不定积分 $\displaystyle\int(x^3-e^x)\,dx=$　______。
    答案：$\dfrac14x^4-e^x+C$
    1. 使用幂函数积分公式：$\int x^3dx=\dfrac14x^4$。
    2. $\int e^xdx=e^x$，故结果为 $\dfrac14x^4-e^x+C$。
  7. 填空题 7
    不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{1+x^2}\,dx=$　______。
    答案：$x-\arctan x+C$
    1. 拆分：$\dfrac{x^2}{1+x^2}=1-\dfrac1{1+x^2}$。
    2. 积分得 $x-\arctan x+C$。
  8. 填空题 8
    不定积分 $\displaystyle\int\dfrac1{x\sqrt[3]{x}}\,dx=$　______。
    答案：$-\dfrac3{\sqrt[3]{x}}+C$
    1. $x\sqrt[3]{x}=x^{4/3}$，故被积函数为 $x^{-4/3}$。
    2. $\int x^{-4/3}dx=-3x^{-1/3}+C=-\dfrac3{\sqrt[3]{x}}+C$。

第一节 不定积分的概念和性质 · 计算题（共 13 题）

  1. 计算题 1
    求不定积分 $\displaystyle\int\left(x^2+2^x-\dfrac2x\right)dx$。
    答案：$\dfrac13x^3+\dfrac{2^x}{\ln2}-2\ln|x|+C$
    1. 逐项积分：$\int x^2dx=\dfrac13x^3$。
    2. $\int2^xdx=\dfrac{2^x}{\ln2}$。
    3. $\int\dfrac2x dx=2\ln|x|$，合并并加 $C$。
  2. 计算题 2
    求不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{x^2-1-x}{x^2(x+1)}\,dx$。
    答案：$\dfrac1x+\ln|x+1|+C$
    1. 设部分分式 $\dfrac{x^2-x-1}{x^2(x+1)}=\dfrac Ax+\dfrac B{x^2}+\dfrac C{x+1}$。
    2. 去分母得 $x^2-x-1=(A+C)x^2+(A+B)x+B$，所以 $B=-1,A=0,C=1$。
    3. 原式 $=\int\left(-\dfrac1{x^2}+\dfrac1{x+1}\right)dx=\dfrac1x+\ln|x+1|+C$。
  3. 计算题 3
    求不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{x^2-3}{x+2}\,dx$。
    答案：$\dfrac12x^2-2x+\ln|x+2|+C$
    1. 作多项式除法：$\dfrac{x^2-3}{x+2}=x-2+\dfrac1{x+2}$。
    2. 积分得 $\dfrac12x^2-2x+\ln|x+2|+C$。
  4. 计算题 4
    求不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{x^3-27}{x-3}\,dx$。
    答案：$\dfrac13x^3+\dfrac32x^2+9x+C$
    1. 利用立方差：$x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)$。
    2. 约分后被积函数为 $x^2+3x+9$。
    3. 积分得 $\dfrac13x^3+\dfrac32x^2+9x+C$。
  5. 计算题 5
    计算不定积分 $\displaystyle\int\left(x+\dfrac1{x^2}\right)^2dx$。
    答案：$\dfrac13x^3+2\ln|x|-\dfrac1{3x^3}+C$
    1. 展开：$\left(x+x^{-2}\right)^2=x^2+2x^{-1}+x^{-4}$。
    2. 逐项积分：$\dfrac13x^3+2\ln|x|-\dfrac13x^{-3}+C$。
  6. 计算题 6
    求不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{(1-y)^2}{\sqrt y}\,dy$。
    答案：$2\sqrt y-\dfrac43y^{3/2}+\dfrac25y^{5/2}+C$
    1. 展开并化为幂函数：$\dfrac{1-2y+y^2}{\sqrt y}=y^{-1/2}-2y^{1/2}+y^{3/2}$。
    2. 分别积分：$2y^{1/2}-\dfrac43y^{3/2}+\dfrac25y^{5/2}+C$。
  7. 计算题 7
    求不定积分 $\displaystyle\int\tan^2x\,dx$。
    答案：$\tan x-x+C$
    1. 使用恒等式 $\tan^2x=\sec^2x-1$。
    2. $\int\sec^2xdx=\tan x$，所以原积分为 $\tan x-x+C$。
  8. 计算题 8
    计算 $\displaystyle\int\left(\sqrt[3]{x}-\dfrac1{\sqrt x}\right)\left(\sqrt x+\dfrac1{\sqrt[3]{x}}\right)dx$。
    答案：$\dfrac6{11}x^{11/6}-6x^{1/6}+C$
    1. 展开：$x^{5/6}+1-1-x^{-5/6}=x^{5/6}-x^{-5/6}$。
    2. 积分得 $\dfrac6{11}x^{11/6}-6x^{1/6}+C$。
  9. 计算题 9
    计算 $\displaystyle\int\sin^2\dfrac x2\,dx$。
    答案：$\dfrac x2-\dfrac12\sin x+C$
    1. 用半角公式，$\sin^2\dfrac x2=\dfrac{1-\cos x}{2}$。
    2. 积分得 $\dfrac x2-\dfrac12\sin x+C$。
  10. 计算题 10
    计算 $\displaystyle\int\dfrac{\cos2x}{\cos x-\sin x}\,dx$。
    答案：$\sin x-\cos x+C$
    1. $\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)$。
    2. 约分后被积函数为 $\cos x+\sin x$。
    3. 积分得 $\sin x-\cos x+C$。
  11. 计算题 11
    计算 $\displaystyle\int\dfrac1{1+\cos2x}\,dx$。
    答案：$\dfrac12\tan x+C$
    1. $1+\cos2x=2\cos^2x$。
    2. 原积分 $=\dfrac12\int\sec^2xdx=\dfrac12\tan x+C$。
  12. 计算题 12
    计算 $\displaystyle\int\dfrac{\sqrt x\cos x+1}{\sqrt x}\,dx$。
    答案：$\sin x+2\sqrt x+C$
    1. 拆分：$\dfrac{\sqrt x\cos x+1}{\sqrt x}=\cos x+x^{-1/2}$。
    2. 积分得 $\sin x+2\sqrt x+C$。
  13. 计算题 13
    若 $\displaystyle\int f(x)e^{1/x}\,dx=e^{1/x}+C$，试求 $\displaystyle\int f(x)\,dx$。
    答案：$\dfrac1x+C$
    1. 对已知积分求导，得 $f(x)e^{1/x}=\left(e^{1/x}\right)'=-\dfrac1{x^2}e^{1/x}$。
    2. 约去 $e^{1/x}$，得 $f(x)=-\dfrac1{x^2}$。
    3. 因此 $\int f(x)dx=\int-x^{-2}dx=\dfrac1x+C$。

第二节 不定积分的计算 · 经典练习（共 12 题）

  1. 经典练习 1
    设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，$C$ 为任意实数，则 $\int f(2x)\,dx=$（　　）
    A. $F(x)+C$B. $F(2x)+C$C. $\dfrac12F(2x)+C$D. $2F(2x)+C$
    答案：C
    1. 令 $u=2x$，则 $dx=\dfrac12du$。
    2. $\int f(2x)dx=\dfrac12\int f(u)du=\dfrac12F(u)+C$。
    3. 回代 $u=2x$，得 $\dfrac12F(2x)+C$。
  2. 经典练习 2
    设函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上可导，$C$ 为任意实数，则 $\int\sin x f'(\cos x)\,dx=$（　　）
    A. $\cos x f(\cos x)+C$B. $-\cos x f(\cos x)+C$C. $f(\cos x)+C$D. $-f(\cos x)+C$
    答案：D
    1. 令 $u=\cos x$，则 $du=-\sin x\,dx$。
    2. 原积分化为 $-\int f'(u)du=-f(u)+C$。
    3. 回代得 $-f(\cos x)+C$。
  3. 经典练习 3
    不定积分 $\int\cos x f'(1-2\sin x)\,dx=$（　　）
    A. $2f(1-2\sin x)+C$B. $\dfrac12f(1-2\sin x)+C$C. $-2f(1-2\sin x)+C$D. $-\dfrac12f(1-2\sin x)+C$
    答案：D
    1. 令 $u=1-2\sin x$，则 $du=-2\cos x\,dx$。
    2. 原积分 $=-\dfrac12\int f'(u)du=-\dfrac12f(u)+C$。
    3. 回代得 $-\dfrac12f(1-2\sin x)+C$。
  4. 经典练习 4
    设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数，且 $\int f(x)\,dx=e^{x^2}+C$，则 $\displaystyle\int\dfrac{f(\sqrt x)}{\sqrt x}\,dx=$（　　）
    A. $-2e^{x^2}$B. $2e^x+C$C. $-\dfrac12e^{x^2}+C$D. $\dfrac12e^x+C$
    答案：B
    1. 由已知积分求导：$f(x)=2xe^{x^2}$。
    2. 令 $t=\sqrt x$，则 $x=t^2$，$dx=2t\,dt$。
    3. 原积分化为 $\int\frac{f(t)}t\cdot2t\,dt=2\int f(t)dt=2e^{t^2}+C=2e^x+C$。
  5. 经典练习 5
    若函数 $f(x)$ 和 $F(x)$ 满足 $F'(x)=f(x)(x\in\mathbb R)$，则下列等式成立的是（　　）
    A. $\int\dfrac1xF(2\ln x+1)dx=2f(2\ln x+1)+C$B. $\int\dfrac1xF(2\ln x+1)dx=\dfrac12f(2\ln x+1)+C$C. $\int\dfrac1xf(2\ln x+1)dx=2F(2\ln x+1)+C$D. $\int\dfrac1xf(2\ln x+1)dx=\dfrac12F(2\ln x+1)+C$
    答案：D
    1. 令 $u=2\ln x+1$，则 $du=\dfrac2x dx$，即 $\dfrac1xdx=\dfrac12du$。
    2. 原积分 $=\dfrac12\int f(u)du=\dfrac12F(u)+C$。
    3. 回代得 $\dfrac12F(2\ln x+1)+C$。
  6. 经典练习 6
    求不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{2+x}{1+x^2}\,dx$。
    答案：$2\arctan x+\dfrac12\ln(1+x^2)+C$
    1. 拆分：$\dfrac{2+x}{1+x^2}=\dfrac2{1+x^2}+\dfrac{x}{1+x^2}$。
    2. 分别积分，得 $2\arctan x+\dfrac12\ln(1+x^2)+C$。
  7. 经典练习 7
    求不定积分 $\displaystyle\int\left(\cos2x-x\sin x^2\right)dx$。
    答案：$\dfrac12\sin2x+\dfrac12\cos x^2+C$
    1. $\int\cos2x dx=\dfrac12\sin2x$。
    2. 令 $u=x^2$，$du=2x dx$，则 $\int x\sin x^2dx=-\dfrac12\cos x^2$。
    3. 题中为减去该积分，故结果为 $\dfrac12\sin2x+\dfrac12\cos x^2+C$。
  8. 经典练习 8
    求不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{2x^2+3x}{x\sqrt{1-x^2}}\,dx$。
    答案：$-2\sqrt{1-x^2}+3\arcsin x+C$
    1. 约去 $x$，得 $\dfrac{2x+3}{\sqrt{1-x^2}}$。
    2. 拆分：$\int\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^2}}dx=-2\sqrt{1-x^2}$。
    3. $\int\dfrac3{\sqrt{1-x^2}}dx=3\arcsin x$，合并并加 $C$。
  9. 经典练习 9
    计算不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{\sqrt{x+2}}{x+3}\,dx$。
    答案：$2\sqrt{x+2}-2\arctan\sqrt{x+2}+C$
    1. 令 $u=\sqrt{x+2}$，则 $x=u^2-2$，$dx=2u\,du$，$x+3=u^2+1$。
    2. 原积分 $=\int\dfrac{u}{u^2+1}2u\,du=2\int\left(1-\dfrac1{u^2+1}\right)du$。
    3. 积分并回代，得 $2u-2\arctan u+C$。
  10. 经典练习 10
    求不定积分 $\displaystyle\int x\cos(x+2)\,dx$。
    答案：$x\sin(x+2)+\cos(x+2)+C$
    1. 令 $u=x+2$，则 $x=u-2$，原式 $=\int(u-2)\cos u\,du$。
    2. $\int u\cos u\,du=u\sin u+\cos u$，$\int-2\cos u\,du=-2\sin u$。
    3. 合并为 $(u-2)\sin u+\cos u+C=x\sin(x+2)+\cos(x+2)+C$。
  11. 经典练习 11
    求不定积分 $\displaystyle\int\arctan\sqrt x\,dx$。
    答案：$(x+1)\arctan\sqrt x-\sqrt x+C$
    1. 令 $t=\sqrt x$，则 $x=t^2$，$dx=2t\,dt$，原式 $=2\int t\arctan t\,dt$。
    2. 分部积分：$2\int t\arctan tdt=t^2\arctan t-\int\dfrac{t^2}{1+t^2}dt$。
    3. 化简并回代，得 $(x+1)\arctan\sqrt x-\sqrt x+C$。
  12. 经典练习 12
    已知 $\ln(1+x^2)$ 是函数 $f(x)$ 的一个原函数，求 $\int xf'(x)\,dx$。
    答案：$\dfrac{2x^2}{1+x^2}-\ln(1+x^2)+C$
    1. 由原函数定义，$f(x)=\left[\ln(1+x^2)\right]'=\dfrac{2x}{1+x^2}$。
    2. 分部积分：$\int xf'(x)dx=xf(x)-\int f(x)dx$。
    3. 代入得 $\dfrac{2x^2}{1+x^2}-\ln(1+x^2)+C$。

第二节 不定积分的计算 · 单项选择题（共 13 题）

  1. 单项选择题 1
    已知 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$，则 $\int f(5x)\,dx=$（　　）
    A. $\dfrac15F(x)+C$B. $F(5x)+C$C. $\dfrac15F(5x)+C$D. $5F(5x)+C$
    答案：C
    1. 令 $u=5x$，则 $dx=\dfrac15du$。
    2. $\int f(5x)dx=\dfrac15\int f(u)du=\dfrac15F(5x)+C$。
  2. 单项选择题 2
    已知 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则不定积分 $\displaystyle\int\dfrac1{1+x^2}f(\arctan x)\,dx=$（　　）
    A. $F(\arctan x)+C$B. $\dfrac1{1+x^2}F(\arctan x)+C$C. $(1+x^2)F(\arctan x)+C$D. $-\dfrac1{1+x^2}F(\arctan x)+C$
    答案：A
    1. 令 $u=\arctan x$，则 $du=\dfrac1{1+x^2}dx$。
    2. 原积分化为 $\int f(u)du=F(u)+C=F(\arctan x)+C$。
  3. 单项选择题 3
    不定积分 $\int3x^2f'(x^3+1)\,dx=$（　　）
    A. $f(x^3+1)$B. $3x^2f(x^3+1)+C$C. $f(x^3+1)+C$D. $3f(x^3+1)+C$
    答案：C
    1. 令 $u=x^3+1$，则 $du=3x^2dx$。
    2. 原积分 $=\int f'(u)du=f(u)+C=f(x^3+1)+C$。
  4. 单项选择题 4
    设 $\int f(x)\,dx=x^2+C$，则 $\int xf(2+x^2)\,dx=$（　　）
    A. $-2(2+x^2)^2+C$B. $2(2+x^2)^2+C$C. $-\dfrac12(2+x^2)^2+C$D. $\dfrac12(2+x^2)^2+C$
    答案：D
    1. 由已知积分求导，$f(x)=2x$。
    2. 因此 $xf(2+x^2)=2x(2+x^2)$。
    3. 令 $u=2+x^2$，$du=2xdx$，积分得到 $\dfrac12u^2+C$。
  5. 单项选择题 5
    已知函数 $f(x)$ 的一阶导数 $f'(x)$ 连续，则 $\int f'(e^x)e^x\,dx=$（　　）
    A. $f(x)+C$B. $e^xf(x)+C$C. $f(e^x)+C$D. $e^xf(e^x)+C$
    答案：C
    1. 令 $u=e^x$，则 $du=e^xdx$。
    2. 原积分 $=\int f'(u)du=f(u)+C=f(e^x)+C$。
  6. 单项选择题 6
    不定积分 $\displaystyle\int\dfrac1{5-4x}\,dx=$（　　）
    A. $\ln|5-4x|+C$B. $-\dfrac14\ln|5-4x|+C$C. $\dfrac14\ln|5-4x|+C$D. $\dfrac1{(5-4x)^2}+C$
    答案：B
    1. 令 $u=5-4x$，则 $du=-4dx$。
    2. 原积分 $=-\dfrac14\int\dfrac1u du=-\dfrac14\ln|u|+C$。
  7. 单项选择题 7
    不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{x}{4x^2+1}\,dx=$（　　）
    A. $\dfrac18\ln(4x^2+1)+C$B. $-\ln(4x^2+1)+C$C. $\ln(4x^2+1)+C$D. $-\dfrac18\ln(4x^2+1)+C$
    答案：A
    1. 令 $u=4x^2+1$，则 $du=8xdx$。
    2. 原积分 $=\dfrac18\int\dfrac1u du=\dfrac18\ln(4x^2+1)+C$。
  8. 单项选择题 8
    不定积分 $\int\sin(2-5x)\,dx=$（　　）
    A. $\cos(2-5x)+C$B. $-\cos(2-5x)+C$C. $\dfrac15\cos(2-5x)+C$D. $-\dfrac15\cos(2-5x)+C$
    答案：C
    1. 令 $u=2-5x$，则 $du=-5dx$。
    2. $\int\sin u\cdot\dfrac{du}{-5}=\dfrac15\cos u+C$。
    3. 回代得 $\dfrac15\cos(2-5x)+C$。
  9. 单项选择题 9
    不定积分 $\int xe^{7x^2}\,dx=$（　　）
    A. $e^{7x^2}+C$B. $\dfrac1{14}xe^{7x^2}+C$C. $\dfrac1{14}e^{7x^2}+C$D. $14e^{7x^2}+C$
    答案：C
    1. 令 $u=7x^2$，则 $du=14xdx$。
    2. 原积分 $=\dfrac1{14}\int e^udu=\dfrac1{14}e^{7x^2}+C$。
  10. 单项选择题 10
    不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{\sin\sqrt x}{\sqrt x}\,dx=$（　　）
    A. $-2\cos\sqrt x+C$B. $\cos\sqrt x+C$C. $2\cos\sqrt x+C$D. $-\cos\sqrt x+C$
    答案：A
    1. 令 $u=\sqrt x$，则 $du=\dfrac1{2\sqrt x}dx$。
    2. 原积分 $=2\int\sin u\,du=-2\cos u+C$。
    3. 回代得 $-2\cos\sqrt x+C$。
  11. 单项选择题 11
    $\int xf(x^2)f'(x^2)\,dx=$（　　）
    A. $\dfrac14f^2(x^2)+C$B. $\dfrac12f^2(x^2)+C$C. $\dfrac14f(x^2)+C$D. $4f^2(x^2)+C$
    答案：A
    1. 令 $u=f(x^2)$，则 $du=2xf'(x^2)dx$。
    2. 原积分 $=\dfrac12\int u\,du=\dfrac14u^2+C$。
    3. 回代得 $\dfrac14f^2(x^2)+C$。
  12. 单项选择题 12
    设 $f(x)=e^{-x}$，则 $\displaystyle\int\dfrac{f(\ln x)}x\,dx=$（　　）
    A. $e^{-x}+C$B. $\dfrac1x+C$C. $-e^{-x}+C$D. $-\dfrac1x+C$
    答案：D
    1. $f(\ln x)=e^{-\ln x}=\dfrac1x$。
    2. 因而 $\dfrac{f(\ln x)}x=\dfrac1{x^2}$。
    3. 积分得 $-\dfrac1x+C$。
  13. 单项选择题 13
    设函数 $f(x)$ 的一个原函数为 $\cos5x$，则 $\int xf'(x)\,dx=$（　　）
    A. $\sin5x-5x\cos5x+C$B. $5x\cos5x+\sin5x+C$C. $-5x\sin5x-\cos5x+C$D. $5x\sin5x-\cos5x+C$
    答案：C
    1. 由原函数定义，$f(x)=(\cos5x)'=-5\sin5x$。
    2. 分部积分：$\int xf'(x)dx=xf(x)-\int f(x)dx$。
    3. 代入得 $-5x\sin5x-\cos5x+C$。

第二节 不定积分的计算 · 填空题（共 18 题）

  1. 填空题 1
    $\displaystyle\int\dfrac{\cos x}{1+\sin x}\,dx=$　______。
    答案：$\ln|1+\sin x|+C$
    1. 令 $u=1+\sin x$，则 $du=\cos x\,dx$。
    2. 原积分化为 $\int\dfrac{du}{u}=\ln|u|+C$。
    3. 回代得 $\ln|1+\sin x|+C$。
  2. 填空题 2
    $\displaystyle\int\dfrac{4x^3}{x^4+2}\,dx=$　______。
    答案：$\ln(x^4+2)+C$
    1. 令 $u=x^4+2$，则 $du=4x^3\,dx$。
    2. 原积分为 $\int\dfrac{du}{u}=\ln|u|+C$。
    3. 因 $x^4+2>0$，回代得 $\ln(x^4+2)+C$。
  3. 填空题 3
    $\displaystyle\int\dfrac{3x^2}{1-x^3}\,dx=$　______。
    答案：$-\ln|1-x^3|+C$
    1. 令 $u=1-x^3$，则 $du=-3x^2\,dx$。
    2. 原积分为 $-\int\dfrac{du}{u}=-\ln|u|+C$。
    3. 回代得 $-\ln|1-x^3|+C$。
  4. 填空题 4
    $\displaystyle\int\dfrac{2\arctan x}{1+x^2}\,dx=$　______。
    答案：$(\arctan x)^2+C$
    1. 令 $u=\arctan x$，则 $du=\dfrac{dx}{1+x^2}$。
    2. 原积分化为 $2\int u\,du=u^2+C$。
    3. 回代得 $(\arctan x)^2+C$。
  5. 填空题 5
    $\displaystyle\int\dfrac1{x\ln^2x}\,dx=$　______。
    答案：$-\dfrac1{\ln x}+C$
    1. 令 $u=\ln x$，则 $du=\dfrac{dx}{x}$。
    2. 原积分为 $\int u^{-2}du=-u^{-1}+C$。
    3. 回代得 $-\dfrac1{\ln x}+C$。
  6. 填空题 6
    $\displaystyle\int\dfrac{(1+\ln x)^{2023}}x\,dx=$　______。
    答案：$\dfrac{(1+\ln x)^{2024}}{2024}+C$
    1. 令 $u=1+\ln x$，则 $du=\dfrac{dx}{x}$。
    2. 原积分为 $\int u^{2023}du=\dfrac{u^{2024}}{2024}+C$。
    3. 回代即可得到答案。
  7. 填空题 7
    $\displaystyle\int\sin^3x\cos x\,dx=$　______。
    答案：$\dfrac14\sin^4x+C$
    1. 令 $u=\sin x$，则 $du=\cos x\,dx$。
    2. 原积分为 $\int u^3du=\dfrac14u^4+C$。
    3. 回代得 $\dfrac14\sin^4x+C$。
  8. 填空题 8
    $\displaystyle\int\cos^3x\sin x\,dx=$　______。
    答案：$-\dfrac14\cos^4x+C$
    1. 令 $u=\cos x$，则 $du=-\sin x\,dx$。
    2. 原积分为 $-\int u^3du=-\dfrac14u^4+C$。
    3. 回代得 $-\dfrac14\cos^4x+C$。
  9. 填空题 9
    $\displaystyle\int3x^2\sqrt[3]{1+x^3}\,dx=$　______。
    答案：$\dfrac34(1+x^3)^{4/3}+C$
    1. 令 $u=1+x^3$，则 $du=3x^2dx$。
    2. 原积分为 $\int u^{1/3}du=\dfrac34u^{4/3}+C$。
    3. 回代得 $\dfrac34(1+x^3)^{4/3}+C$。
  10. 填空题 10
    已知 $f(x)$ 是可导函数，则 $\displaystyle\int f'(4+x)\,dx=$　______。
    答案：$f(4+x)+C$
    1. 令 $u=4+x$，则 $du=dx$。
    2. 原积分为 $\int f'(u)du=f(u)+C$。
    3. 回代得 $f(4+x)+C$。
  11. 填空题 11
    已知 $f(x)$ 是可导函数，则 $\displaystyle\int\dfrac{f'(x)}{\sqrt{1-[f(x)]^2}}\,dx=$　______。
    答案：$\arcsin f(x)+C$
    1. 令 $u=f(x)$，则 $du=f'(x)dx$。
    2. 原积分为 $\int\dfrac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\arcsin u+C$。
    3. 回代得 $\arcsin f(x)+C$（在 $|f(x)|<1$ 的区间内）。
  12. 填空题 12
    已知 $f'(x)$ 是连续函数，则积分 $\displaystyle\int[f(x)]^{3/2}f'(x)\,dx=$　______。
    答案：$\dfrac25[f(x)]^{5/2}+C$
    1. 令 $u=f(x)$，则 $du=f'(x)dx$。
    2. 原积分为 $\int u^{3/2}du=\dfrac25u^{5/2}+C$。
    3. 回代得 $\dfrac25[f(x)]^{5/2}+C$。
  13. 填空题 13
    设 $f(x)=e^{-x}$，则 $\displaystyle\int x f'(x)\,dx=$　______。
    答案：$(x+1)e^{-x}+C$
    1. 由 $f(x)=e^{-x}$ 得 $f'(x)=-e^{-x}$。分部积分公式为 $\int x f'(x)dx=xf(x)-\int f(x)dx$。
    2. 代入：$xf(x)-\int f(x)dx=xe^{-x}-\int e^{-x}dx=xe^{-x}+e^{-x}+C$。
    3. 合并得 $(x+1)e^{-x}+C$。验算其导数为 $e^{-x}-(x+1)e^{-x}=-xe^{-x}$。
  14. 填空题 14
    已知 $f'(x)$ 连续，则不定积分 $\displaystyle\int x f'(x)\,dx=$　______。
    答案：$xf(x)-\displaystyle\int f(x)\,dx$
    1. 取 $u=x$，$dv=f'(x)dx$，则 $du=dx$，$v=f(x)$。
    2. 由分部积分，$\int x f'(x)dx=xf(x)-\int f(x)dx$。
    3. 因 $f$ 未具体给出，后一项保留为不定积分形式。
  15. 填空题 15
    $\displaystyle\int\dfrac1{x^2}\sin\dfrac1x\,dx=$　______。
    答案：$\cos\dfrac1x+C$
    1. 令 $u=\dfrac1x$，则 $du=-\dfrac{dx}{x^2}$。
    2. 原积分为 $-\int\sin u\,du=\cos u+C$。
    3. 回代得 $\cos\dfrac1x+C$。
  16. 填空题 16
    $\displaystyle\int\cos x\,d(e^{\cos x})=$　______。
    答案：$e^{\cos x}(\cos x-1)+C$
    1. 令 $u=\cos x$，则原积分为 $\int u\,d(e^u)$。
    2. 分部积分：$\int u\,d(e^u)=ue^u-\int e^u du=ue^u-e^u+C$。
    3. 回代得 $e^{\cos x}(\cos x-1)+C$。
  17. 填空题 17
    设 $\ln f(x)=\cos x$，则 $\displaystyle\int\dfrac{x f'(x)}{f(x)}\,dx=$　______。
    答案：$x\cos x-\sin x+C$
    1. 对 $\ln f(x)=\cos x$ 求导，得 $\dfrac{f'(x)}{f(x)}=-\sin x$。
    2. 原积分为 $-\int x\sin x\,dx$。
    3. 分部积分得 $-\int x\sin x\,dx=x\cos x-\sin x+C$。
  18. 填空题 18
    $\displaystyle\int\dfrac1{x^2-4}\,dx=$　______。
    答案：$\dfrac14\ln\left|\dfrac{x-2}{x+2}\right|+C$
    1. 部分分式分解：$\dfrac1{x^2-4}=\dfrac14\left(\dfrac1{x-2}-\dfrac1{x+2}\right)$。
    2. 分别积分得 $\dfrac14(\ln|x-2|-\ln|x+2|)+C$。
    3. 合并对数得 $\dfrac14\ln\left|\dfrac{x-2}{x+2}\right|+C$。

第二节 不定积分的计算 · 计算题（共 36 题）

  1. 计算题 1
    计算不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{1+xe^x}{e^x}\,dx$。
    答案：$\dfrac12x^2-e^{-x}+C$
    1. 将分子拆分：$\dfrac{1+xe^x}{e^x}=e^{-x}+x$。
    2. 分别积分，得 $-e^{-x}+\dfrac12x^2+C$。
  2. 计算题 2
    求不定积分 $\displaystyle\int e^x\sqrt{1+3e^x}\,dx$。
    答案：$\dfrac29(1+3e^x)^{3/2}+C$
    1. 令 $u=1+3e^x$，则 $du=3e^xdx$。
    2. 原积分化为 $\dfrac13\int u^{1/2}du=\dfrac29u^{3/2}+C$。
    3. 回代得 $\dfrac29(1+3e^x)^{3/2}+C$。
  3. 计算题 3
    求不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}\,dx$。
    答案：$\arcsin(e^x)+C$
    1. 令 $u=e^x$，则 $du=e^xdx$。
    2. 原积分化为 $\int\dfrac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\arcsin u+C$。
    3. 回代得 $\arcsin(e^x)+C$，适用区间由 $e^{2x}<1$ 确定。
  4. 计算题 4
    求不定积分 $\displaystyle\int\dfrac1{\sqrt{5-3x^2}}\,dx$。
    答案：$\dfrac1{\sqrt3}\arcsin\left(\sqrt{\dfrac35}x\right)+C$
    1. 写成 $\int\dfrac{dx}{\sqrt3\sqrt{5/3-x^2}}$。
    2. 使用 $\int\dfrac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}=\arcsin\dfrac ua+C$，其中 $a=\sqrt{5/3}$。
    3. 化简得 $\dfrac1{\sqrt3}\arcsin\left(\sqrt{\dfrac35}x\right)+C$。
  5. 计算题 5
    求不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{\sin\left(4+\dfrac3x\right)}{x^2}\,dx$。
    答案：$\dfrac13\cos\left(4+\dfrac3x\right)+C$
    1. 令 $u=4+\dfrac3x$，则 $du=-\dfrac3{x^2}dx$。
    2. 原积分为 $-\dfrac13\int\sin u\,du=\dfrac13\cos u+C$。
    3. 回代得 $\dfrac13\cos\left(4+\dfrac3x\right)+C$。
  6. 计算题 6
    计算不定积分 $\displaystyle\int x\sqrt{2x^2-1}\,dx$。
    答案：$\dfrac16(2x^2-1)^{3/2}+C$
    1. 令 $u=2x^2-1$，则 $du=4xdx$。
    2. 原积分化为 $\dfrac14\int u^{1/2}du=\dfrac16u^{3/2}+C$。
    3. 回代得 $\dfrac16(2x^2-1)^{3/2}+C$。
  7. 计算题 7
    计算不定积分 $\displaystyle\int(\sin x+\cos x)^2dx$。
    答案：$x-\dfrac12\cos2x+C$
    1. 展开：$(\sin x+\cos x)^2=1+\sin2x$。
    2. 原积分化为 $x-\dfrac12\cos2x+C$。
  8. 计算题 8
    计算不定积分 $\displaystyle\int\cos^2x\,dx$。
    答案：$\dfrac x2+\dfrac14\sin2x+C$
    1. 使用降幂公式 $\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}$。
    2. 原积分化为 $\dfrac12x+\dfrac14\sin2x+C$。
  9. 计算题 9
    计算不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{\sin2x}{1-\cos^22x}\,dx$。
    答案：$\dfrac12\ln|\tan x|+C$
    1. 分母 $1-\cos^22x=\sin^22x$，故被积函数为 $\dfrac1{\sin2x}$。
    2. $\int\csc2x\,dx=\dfrac12\ln|\tan x|+C$。
  10. 计算题 10
    计算 $\displaystyle\int\dfrac{dx}{(1+x)\sqrt x}$。
    答案：$2\arctan\sqrt x+C$
    1. 令 $t=\sqrt x$，则 $x=t^2$，$dx=2t\,dt$。
    2. 原积分化为 $\int\dfrac{2t}{(1+t^2)t}dt=2\int\dfrac{dt}{1+t^2}$。
    3. 积分为 $2\arctan t+C=2\arctan\sqrt x+C$。
  11. 计算题 11
    计算 $\displaystyle\int\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}\,dx$。
    答案：$\dfrac13(x^2+1)^{3/2}-\sqrt{x^2+1}+C$
    1. 令 $t=x^2+1$，则 $x^2=t-1$，$x\,dx=\dfrac12dt$。
    2. 原积分化为 $\dfrac12\int(t-1)t^{-1/2}dt=\dfrac12\int(t^{1/2}-t^{-1/2})dt$。
    3. 积分得 $\dfrac13t^{3/2}-t^{1/2}+C$，回代即可。
  12. 计算题 12
    计算 $\displaystyle\int\dfrac{x}{1+x^4}\,dx$。
    答案：$\dfrac12\arctan x^2+C$
    1. 令 $u=x^2$，则 $du=2xdx$。
    2. 原积分化为 $\dfrac12\int\dfrac{du}{1+u^2}=\dfrac12\arctan u+C$。
    3. 回代得 $\dfrac12\arctan x^2+C$。
  13. 计算题 13
    计算 $\displaystyle\int\sin^3x\,dx$。
    答案：$-\cos x+\dfrac13\cos^3x+C$
    1. 写 $\sin^3x=(1-\cos^2x)\sin x$。
    2. 令 $u=\cos x$，则 $du=-\sin x\,dx$。
    3. 原积分化为 $\int(u^2-1)du=\dfrac13u^3-u+C$，回代即可。
  14. 计算题 14
    计算 $\displaystyle\int\tan(x+1)\,dx$。
    答案：$-\ln|\cos(x+1)|+C$
    1. 令 $u=x+1$，$\int\tan u\,du=-\ln|\cos u|+C$。
    2. 回代得 $-\ln|\cos(x+1)|+C$，也可写成 $\ln|\sec(x+1)|+C$。
  15. 计算题 15
    求不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sin x+\cos x}$。
    答案：$\dfrac1{\sqrt2}\ln\left|\tan\left(\dfrac x2+\dfrac{\pi}{8}\right)\right|+C$
    1. 利用 $\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$。
    2. 令 $u=x+\dfrac{\pi}{4}$，则原积分为 $\dfrac1{\sqrt2}\int\csc u\,du$。
    3. 使用 $\int\csc u\,du=\ln|\tan(u/2)|+C$，回代得结果。
  16. 计算题 16
    计算 $\displaystyle\int\dfrac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx$。
    答案：$-\ln|\sin x+\cos x|+C$
    1. 分母的导数为 $(\sin x+\cos x)'=\cos x-\sin x$。
    2. 被积函数正是分母导数的相反数除以分母。
    3. 因而原积分为 $-\ln|\sin x+\cos x|+C$。
  17. 计算题 17
    计算 $\displaystyle\int\dfrac{x+\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$。
    答案：$-\sqrt{1-x^2}+\dfrac12(\arcsin x)^2+C$
    1. 拆成 $\int\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx+\int\dfrac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}dx$。
    2. 第一项令 $u=1-x^2$，得 $-\sqrt{1-x^2}$。
    3. 第二项令 $u=\arcsin x$，得 $\dfrac12(\arcsin x)^2$。合并并加常数。
  18. 计算题 18
    求 $\displaystyle\int\dfrac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx$。
    答案：$\arctan(e^x)+C$
    1. 令 $u=e^x$，则 $du=e^xdx$。
    2. 原积分化为 $\int\dfrac{du}{1+u^2}=\arctan u+C$。
    3. 回代得 $\arctan(e^x)+C$。
  19. 计算题 19
    设 $\displaystyle\int x f(x)\,dx=\arcsin x+C$，求 $\displaystyle\int\dfrac1{f(x)}\,dx$。
    答案：$-\dfrac13(1-x^2)^{3/2}+C$
    1. 对已知积分求导，得 $x f(x)=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$。
    2. 因而 $\dfrac1{f(x)}=x\sqrt{1-x^2}$。
    3. 令 $u=1-x^2$，得 $\int x\sqrt{1-x^2}dx=-\dfrac13(1-x^2)^{3/2}+C$。
  20. 计算题 20
    求 $\displaystyle\int\dfrac1{1+\sqrt[3]{x+2}}\,dx$。
    答案：$\dfrac32\sqrt[3]{(x+2)^2}-3\sqrt[3]{x+2}+3\ln\left|1+\sqrt[3]{x+2}\right|+C$
    1. 令 $t=\sqrt[3]{x+2}$，则 $x=t^3-2$，$dx=3t^2dt$。
    2. 原积分为 $3\int\dfrac{t^2}{1+t}dt=3\int\left(t-1+\dfrac1{1+t}\right)dt$。
    3. 积分得 $\dfrac32t^2-3t+3\ln|1+t|+C$，再回代 $t$。
  21. 计算题 21
    求不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{x\,dx}{\sqrt x-3}$。
    答案：$\dfrac23x^{3/2}+3x+18\sqrt x+54\ln|\sqrt x-3|+C$
    1. 令 $t=\sqrt x$，则 $x=t^2$，$dx=2t\,dt$。
    2. 原积分为 $2\int\dfrac{t^3}{t-3}dt$。作多项式除法：$\dfrac{t^3}{t-3}=t^2+3t+9+\dfrac{27}{t-3}$。
    3. 积分得 $2\left(\dfrac13t^3+\dfrac32t^2+9t+27\ln|t-3|\right)+C$，回代 $t=\sqrt x$。
  22. 计算题 22
    求不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt x+\sqrt[3]x}$。
    答案：$2\sqrt x-3\sqrt[3]x+6\sqrt[6]x-6\ln(1+\sqrt[6]x)+C$
    1. 取 $t=\sqrt[6]x$，则 $x=t^6$，$dx=6t^5dt$，且 $\sqrt x=t^3$，$\sqrt[3]x=t^2$。
    2. 原积分为 $6\int\dfrac{t^5}{t^3+t^2}dt=6\int\dfrac{t^3}{t+1}dt$。
    3. 由 $\dfrac{t^3}{t+1}=t^2-t+1-\dfrac1{t+1}$，积分得 $2t^3-3t^2+6t-6\ln|1+t|+C$。
    4. 回代 $t=\sqrt[6]x$，即得 $2\sqrt x-3\sqrt[3]x+6\sqrt[6]x-6\ln(1+\sqrt[6]x)+C$。
  23. 计算题 23
    计算 $\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt x+\sqrt[4]x}$。
    答案：$2\sqrt x-4\sqrt[4]x+4\ln(1+\sqrt[4]x)+C$
    1. 令 $t=\sqrt[4]x$，则 $x=t^4$，$dx=4t^3dt$，$\sqrt x=t^2$，$\sqrt[4]x=t$。
    2. 原积分为 $4\int\dfrac{t^2}{t+1}dt=4\int\left(t-1+\dfrac1{t+1}\right)dt$。
    3. 积分得 $2t^2-4t+4\ln|1+t|+C$，回代即得答案。
  24. 计算题 24
    求不定积分 $\displaystyle\int\dfrac1{(2-x)\sqrt{1-x}}\,dx$。
    答案：$-2\arctan\sqrt{1-x}+C$
    1. 令 $t=\sqrt{1-x}$，则 $x=1-t^2$，$dx=-2t\,dt$。
    2. 分母 $(2-x)t=(1+t^2)t$，原积分为 $\int\dfrac{-2t}{(1+t^2)t}dt=-2\int\dfrac{dt}{1+t^2}$。
    3. 积分为 $-2\arctan t+C=-2\arctan\sqrt{1-x}+C$。
  25. 计算题 25
    求不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{x-1}{1+\sqrt{2x-1}}\,dx$。
    答案：$\dfrac16(2x-1)^{3/2}-\dfrac14(2x-1)+C$
    1. 令 $t=\sqrt{2x-1}$，则 $x=\dfrac{t^2+1}{2}$，$dx=t\,dt$。
    2. 原积分为 $\int\dfrac{(t^2-1)/2}{1+t}t\,dt=\dfrac12\int(t^2-t)dt$。
    3. 积分得 $\dfrac16t^3-\dfrac14t^2+C$，回代 $t=\sqrt{2x-1}$。
  26. 计算题 26
    求不定积分 $\displaystyle\int x\sqrt{2x+1}\,dx$。
    答案：$\dfrac1{10}(2x+1)^{5/2}-\dfrac16(2x+1)^{3/2}+C$
    1. 令 $u=2x+1$，则 $x=\dfrac{u-1}{2}$，$dx=\dfrac12du$。
    2. 原积分化为 $\dfrac14\int(u^{3/2}-u^{1/2})du$。
    3. 积分得 $\dfrac1{10}u^{5/2}-\dfrac16u^{3/2}+C$，回代即可。
  27. 计算题 27
    求不定积分 $\displaystyle\int\dfrac1{x+\sqrt x}\,dx$。
    答案：$2\ln(1+\sqrt x)+C$
    1. 令 $t=\sqrt x$，则 $x=t^2$，$dx=2t\,dt$。
    2. 原积分为 $2\int\dfrac{dt}{t+1}=2\ln|1+t|+C$。
    3. 回代得 $2\ln(1+\sqrt x)+C$。
  28. 计算题 28
    求不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{x+1}{\sqrt[3]{3x+1}}\,dx$。
    答案：$\dfrac1{15}(3x+1)^{5/3}+\dfrac13(3x+1)^{2/3}+C$
    1. 令 $u=\sqrt[3]{3x+1}$，则 $x=\dfrac{u^3-1}{3}$，$dx=u^2du$。
    2. 同时 $x+1=\dfrac{u^3+2}{3}$，原积分为 $\dfrac13\int\dfrac{u^3+2}{u}\cdot u^2du=\dfrac13\int(u^4+2u)du$。
    3. 积分得 $\dfrac1{15}u^5+\dfrac13u^2+C$。
    4. 回代 $u=\sqrt[3]{3x+1}$，即得 $\dfrac1{15}(3x+1)^{5/3}+\dfrac13(3x+1)^{2/3}+C$。
  29. 计算题 29
    计算不定积分 $\displaystyle\int\sqrt{e^x-1}\,dx$。
    答案：$2\sqrt{e^x-1}-2\arctan\sqrt{e^x-1}+C$
    1. 令 $t=\sqrt{e^x-1}$，则 $e^x=1+t^2$，$dx=\dfrac{2t}{1+t^2}dt$。
    2. 原积分为 $2\int\dfrac{t^2}{1+t^2}dt=2\int\left(1-\dfrac1{1+t^2}\right)dt$。
    3. 积分得 $2t-2\arctan t+C$，回代即可。
  30. 计算题 30
    计算不定积分 $\displaystyle\int\dfrac1{\sqrt{(1-x^2)^3}}\,dx$。
    答案：$\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}+C$
    1. 令 $x=\sin t$，则 $dx=\cos t\,dt$，$\sqrt{(1-x^2)^3}=\cos^3t$。
    2. 原积分为 $\int\sec^2t\,dt=\tan t+C$。
    3. 回代 $\tan t=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$，得答案。
  31. 计算题 31
    计算 $\displaystyle\int\dfrac{2x+1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx$。
    答案：$-2\sqrt{4-x^2}+\arcsin\dfrac x2+C$
    1. 拆成 $\int\dfrac{2x}{\sqrt{4-x^2}}dx+\int\dfrac{dx}{\sqrt{4-x^2}}$。
    2. 第一项令 $u=4-x^2$，得 $-2\sqrt{4-x^2}$。
    3. 第二项为 $\arcsin\dfrac x2$，合并并加常数。
  32. 计算题 32
    计算 $\displaystyle\int\dfrac1{\sqrt{(1+x^2)^3}}\,dx$。
    答案：$\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}+C$
    1. 令 $x=\tan t$，则 $dx=\sec^2t\,dt$，且 $\sqrt{(1+x^2)^3}=\sec^3t$。
    2. 原积分化为 $\int\cos t\,dt=\sin t+C$。
    3. 由 $\sin t=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ 回代，得答案。
  33. 计算题 33
    求 $\displaystyle\int x^2\cos x\,dx$。
    答案：$x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x+C$
    1. 第一次分部积分，取 $u=x^2$，$dv=\cos xdx$，得 $x^2\sin x-2\int x\sin xdx$。
    2. 再取 $u=x$，$dv=\sin xdx$，得 $\int x\sin xdx=-x\cos x+\sin x$。
    3. 合并得 $x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x+C$。
  34. 计算题 34
    求不定积分 $\displaystyle\int\arcsin x\,dx$。
    答案：$x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C$
    1. 取 $u=\arcsin x$，$dv=dx$，则 $du=\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$，$v=x$。
    2. 分部积分得 $x\arcsin x-\int\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx$。
    3. 后一积分为 $-\sqrt{1-x^2}$，故结果为 $x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C$。
  35. 计算题 35
    求不定积分 $\displaystyle\int x\tan^2x\,dx$。
    答案：$x\tan x+\ln|\cos x|-\dfrac{x^2}{2}+C$
    1. 利用 $\tan^2x=\sec^2x-1$，原积分为 $\int x\sec^2x\,dx-\dfrac{x^2}{2}$。
    2. 对第一项分部积分：$\int x\sec^2xdx=x\tan x-\int\tan xdx=x\tan x+\ln|\cos x|$。
    3. 合并得 $x\tan x+\ln|\cos x|-\dfrac{x^2}{2}+C$。
  36. 计算题 36
    求不定积分 $\displaystyle\int x\ln(x-1)\,dx$。
    答案：$\dfrac{x^2}{2}\ln(x-1)-\dfrac{x^2}{4}-\dfrac x2-\dfrac12\ln|x-1|+C$
    1. 取 $u=\ln(x-1)$，$dv=xdx$，则 $du=\dfrac{dx}{x-1}$，$v=\dfrac{x^2}{2}$。
    2. 原积分为 $\dfrac{x^2}{2}\ln(x-1)-\dfrac12\int\dfrac{x^2}{x-1}dx$。
    3. 又 $\dfrac{x^2}{x-1}=x+1+\dfrac1{x-1}$，积分后合并即得答案。

第三节 定积分的概念与性质 · 经典练习（共 1 题）

  1. 经典练习 1
    若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则下列结论中正确的是（　　）
    A. 在区间 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f(\xi)=0$B. 在区间 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f'(\xi)=0$C. 在区间 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$D. 在区间 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $\displaystyle\int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)$
    答案：D
    1. A、B 分别需要额外的零点条件或可导、罗尔定理条件，仅凭连续性不能保证。
    2. C 是拉格朗日中值定理，还需 $f$ 在开区间内可导，题面只给出连续。
    3. D 是积分中值定理：连续函数在闭区间上取得最小值 $m$ 和最大值 $M$，且 $m(b-a)\le\int_a^bf(x)dx\le M(b-a)$。
    4. 由介值定理，存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $f(\xi)=\dfrac1{b-a}\int_a^bf(x)dx$，故 D 成立。

第三节 定积分的概念与性质 · 单项选择题（共 9 题）

  1. 单项选择题 1
    下列等式中正确的是（　　）
    A. $\left(\displaystyle\int_a^b f(x)dx\right)'=f(x)$B. $\left(\displaystyle\int_a^b f(x)dx\right)'=0$C. $\displaystyle\int_a^a dx=0$D. $\displaystyle\int f'(x)dx=f(x)$
    答案：B
    1. 当 $a,b$ 都是常数时，$\int_a^bf(x)dx$ 是一个确定的数，其导数为 $0$，所以 B 正确、A 错误。
    2. $\int_a^a dx=0$，但选项 C 把 $dx$ 漏写，式子不完整，不能视为正确等式。
    3. D 应为 $\int f'(x)dx=f(x)+C$，漏掉了任意常数 $C$。
  2. 单项选择题 2
    下列说法正确的是（　　）
    A. 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\displaystyle\int_a^b f(x)dx$ 一定存在B. 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上不连续，则 $\displaystyle\int_a^b f(x)dx$ 一定不存在C. 若 $\displaystyle\int_a^b f(x)dx$ 存在，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一定连续D. 若 $\displaystyle\int_a^b f(x)dx$ 存在，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一定可导
    答案：A
    1. 连续函数必可积，因此 A 正确。
    2. 有有限个第一类间断点的函数仍可能可积，所以 B 错误。
    3. 可积只要求函数“足够好”，不要求连续；例如有跳跃间断点的分段函数仍可积，故 C、D 错误。
  3. 单项选择题 3
    定积分 $\displaystyle\int_0^2\sqrt{4-x^2}\,dx=$（　　）
    A. $\dfrac14\pi$B. $\dfrac12\pi$C. $\pi$D. $2\pi$
    答案：C
    1. $y=\sqrt{4-x^2}$ 表示圆心在原点、半径为 $2$ 的圆的上半支。
    2. 积分区间为 $0\le x\le2$，对应第一象限中的四分之一圆。
    3. 面积为 $\dfrac14\pi\cdot2^2=\pi$，因此积分值为 $\pi$。
  4. 单项选择题 4
    定积分 $\displaystyle\int_{-3}^3\sqrt{9-x^2}\,dx=$（　　）
    A. $\dfrac98\pi$B. $\dfrac94\pi$C. $\dfrac92\pi$D. $9\pi$
    答案：C
    1. $y=\sqrt{9-x^2}$ 是半径为 $3$ 的圆的上半圆。
    2. 积分区间从 $-3$ 到 $3$，对应整个上半圆。
    3. 面积为 $\dfrac12\pi\cdot3^2=\dfrac92\pi$。
  5. 单项选择题 5
    已知 $\displaystyle\int_0^\pi f(x)dx=2$，则 $f(x)$ 在区间 $[0,\pi]$ 上的平均值为（　　）
    A. $-\dfrac2\pi$B. $\dfrac2\pi$C. $\dfrac\pi2$D. $1$
    答案：B
    1. 连续函数在 $[a,b]$ 上的平均值定义为 $\bar f=\dfrac1{b-a}\int_a^bf(x)dx$。
    2. 这里 $a=0,b=\pi$，所以 $\bar f=\dfrac1\pi\cdot2=\dfrac2\pi$。
  6. 单项选择题 6
    $\displaystyle\int_0^\pi\sin x\,dx-\int_0^\pi\sin^2x\,dx$（　　）
    A. $>0$B. $<0$C. $=0$D. 与 $0$ 的关系无法确定
    答案：A
    1. $\int_0^\pi\sin x\,dx=[-\cos x]_0^\pi=1-(-1)=2$。
    2. 利用 $\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$，得 $\int_0^\pi\sin^2x\,dx=\dfrac\pi2$。
    3. 原式 $=2-\dfrac\pi2=\dfrac{4-\pi}{2}>0$。
  7. 单项选择题 7
    若 $g(x)$ 在区间 $[1,5]$ 上连续，且 $\displaystyle\int_1^3g(x)dx=2$，$\displaystyle\int_5^1g(x)dx=-5$，则 $\displaystyle\int_3^5g(x)dx=$（　　）
    A. $1$B. $2$C. $3$D. $4$
    答案：C
    1. 交换积分上下限变号：$\int_1^5g(x)dx=-\int_5^1g(x)dx=5$。
    2. 由积分区间的可加性，$\int_1^5=\int_1^3+\int_3^5$。
    3. 所以 $5=2+\int_3^5g(x)dx$，得 $\int_3^5g(x)dx=3$。
  8. 单项选择题 8
    设 $I_1=\displaystyle\int_0^1x\,dx$，$I_2=\displaystyle\int_0^1\sqrt x\,dx$，则（　　）
    A. $I_1<I_2$B. $I_1>I_2$C. $I_1=I_2$D. $I_1,I_2$ 不能比较大小
    答案：A
    1. 当 $0<x<1$ 时，$\sqrt x>x$，且只有端点相等。
    2. 由定积分的保序性，$\int_0^1\sqrt x\,dx>\int_0^1x\,dx$。
    3. 也可直接计算：$I_1=\dfrac12$，$I_2=\dfrac23$。
  9. 单项选择题 9
    根据定积分的几何意义，下列各式中正确的是（　　）
    A. $\displaystyle\int_{-\pi/2}^0\cos x\,dx<\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$B. $\displaystyle\int_{-\pi/2}^0\cos x\,dx>\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$C. $\displaystyle\int_0^\pi\sin x\,dx=0$D. $\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin x\,dx=0$
    答案：D
    1. $\int_{-\pi/2}^0\cos x\,dx=[ \sin x]_{-\pi/2}^0=1$，同样 $\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=1$，故 A、B 都错。
    2. $\int_0^\pi\sin x\,dx=2$，故 C 错。
    3. $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx=[-\cos x]_0^{2\pi}=-1-(-1)=0$，故 D 正确。

第三节 定积分的概念与性质 · 填空题（共 3 题）

  1. 填空题 1
    定积分 $\displaystyle\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx$ 的几何意义是　______，其值为　______。
    答案：单位圆的上半圆面积；$\dfrac\pi2$
    1. 被积函数 $y=\sqrt{1-x^2}$ 满足 $x^2+y^2=1$ 且 $y\ge0$。
    2. 积分区间为 $[-1,1]$，所以积分表示半径为 $1$ 的上半圆面积。
    3. 面积为 $\dfrac12\pi\cdot1^2=\dfrac\pi2$。
  2. 填空题 2
    设 $\displaystyle\int_{-1}^3f(x)dx=4$，$\displaystyle\int_{-1}^3g(x)dx=3$，则 $\displaystyle\int_{-1}^3[4f(x)+3g(x)]dx=$　______。
    答案：$25$
    1. 由定积分的线性性质，$\int_{-1}^3[4f(x)+3g(x)]dx=4\int_{-1}^3f(x)dx+3\int_{-1}^3g(x)dx$。
    2. 代入已知值，得 $4\times4+3\times3=16+9=25$。
  3. 填空题 3
    比较定积分的大小：$\displaystyle\int_1^{10}e^{x^2}dx$　______　$-\displaystyle\int_1^{10}e^{x^3}dx$（填“$\ge$”或“$\le$”）。
    答案：$\ge$
    1. 在 $[1,10]$ 上，$e^{x^2}>0$，所以左边 $\int_1^{10}e^{x^2}dx>0$。
    2. 同样 $\int_1^{10}e^{x^3}dx>0$，所以右边是负数。
    3. 正数大于负数，因此左边 $\ge$ 右边。题面要求填写“$\ge$”或“$\le$”，应填“$\ge$”。

第四节 定积分的换元法和分部积分法 · 经典练习（共 8 题）

  1. 经典练习 1
    已知 $\displaystyle\int_1^2xf(x)dx=2$，则 $\displaystyle\int_0^3f(\sqrt{x+1})dx=$（　　）
    A. $1$B. $2$C. $3$D. $4$
    答案：D
    1. 令 $t=\sqrt{x+1}$，则 $x=t^2-1$，$dx=2t\,dt$。
    2. 当 $x=0$ 时 $t=1$，当 $x=3$ 时 $t=2$。
    3. 原式 $=2\int_1^2tf(t)dt=2\times2=4$。
  2. 经典练习 2
    定积分 $\displaystyle\int_{-1}^1e^{-x^2}\sin x\,dx=$　______。
    答案：$0$
    1. $e^{-x^2}$ 是偶函数，$\sin x$ 是奇函数，所以被积函数 $e^{-x^2}\sin x$ 是奇函数。
    2. 奇函数在关于原点对称的区间上的积分为 $0$。
  3. 经典练习 3
    $\displaystyle\int_{-2}^2(|x|+\sin x)dx=$　______。
    答案：$4$
    1. $|x|$ 是偶函数，$\sin x$ 是奇函数，奇函数部分在 $[-2,2]$ 上积分为 $0$。
    2. 原式 $=2\int_0^2x\,dx=2\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^2=4$。
  4. 经典练习 4
    计算定积分 $\displaystyle\int_0^2\dfrac{x}{(x+2)\sqrt{x+1}}dx$。
    答案：$2\sqrt3-2-\dfrac\pi3$
    1. 令 $u=\sqrt{x+1}$，则 $x=u^2-1$，$dx=2u\,du$；积分限由 $x=0,2$ 变为 $u=1,\sqrt3$。
    2. 原式 $=\displaystyle\int_1^{\sqrt3}\dfrac{2(u^2-1)}{u^2+1}du=2\int_1^{\sqrt3}\left(1-\dfrac{2}{u^2+1}\right)du$。
    3. 因而原式 $=2\left[u-2\arctan u\right]_1^{\sqrt3}=2\left(\sqrt3-1-\dfrac\pi6\right)=2\sqrt3-2-\dfrac\pi3$。
  5. 经典练习 5
    计算定积分 $\displaystyle\int_0^{\sqrt3}\dfrac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}dx$。
    答案：$\dfrac43$
    1. 令 $u=1+x^2$，则 $x^2=u-1$，$x\,dx=\dfrac12du$。
    2. 原式 $=\dfrac12\int_1^4\dfrac{u-1}{\sqrt u}du=\dfrac12\int_1^4(u^{1/2}-u^{-1/2})du$。
    3. 积分得 $\left[\dfrac13u^{3/2}-\sqrt u\right]_1^4=\left(\dfrac83-2\right)-\left(\dfrac13-1\right)=\dfrac43$。
  6. 经典练习 6
    计算定积分 $\displaystyle\int_0^1\ln(1+x^2)dx$。
    答案：$\ln2-2+\dfrac\pi2$
    1. 分部积分：$\int_0^1\ln(1+x^2)dx=[x\ln(1+x^2)]_0^1-\int_0^1\dfrac{2x^2}{1+x^2}dx$。
    2. 前一项为 $\ln2$，且 $\dfrac{2x^2}{1+x^2}=2-\dfrac2{1+x^2}$。
    3. 所以原式 $=\ln2-2\left[x-\arctan x\right]_0^1=\ln2-2+\dfrac\pi2$。
  7. 经典练习 7
    设 $f(x)=\begin{cases}x^3e^{x^4+1},&-\dfrac12\le x\le\dfrac12,\\\dfrac1{x^2},&x>\dfrac12,\end{cases}$ 利用定积分的换元法求 $\displaystyle\int_{1/2}^2f(x-1)dx$。
    答案：$1$
    1. 令 $t=x-1$，则 $dx=dt$，积分限由 $x=\dfrac12,2$ 变为 $t=-\dfrac12,1$。
    2. 原式 $=\int_{-1/2}^{1/2}x^3e^{x^4+1}dx+\int_{1/2}^1\dfrac1{x^2}dx$。
    3. 第一项令 $u=x^4$，两端积分限都变为 $\dfrac1{16}$，积分为 $0$。
    4. 第二项 $\left[-\dfrac1x\right]_{1/2}^1=1$，故总和为 $1$。
  8. 经典练习 8
    已知 $\displaystyle\int\tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C$，求定积分 $\displaystyle\int_0^{\pi/4}x\sec^2x\,dx$。
    答案：$\dfrac\pi4-\dfrac12\ln2$
    1. 取 $u=x,dv=\sec^2x\,dx$，则 $du=dx,v=\tan x$。
    2. 原式 $=[x\tan x]_0^{\pi/4}-\int_0^{\pi/4}\tan x\,dx=\dfrac\pi4+\left[\ln|\cos x|\right]_0^{\pi/4}$。
    3. $\ln\dfrac{\sqrt2}{2}=-\dfrac12\ln2$，故结果为 $\dfrac\pi4-\dfrac12\ln2$。

第四节 定积分的换元法和分部积分法 · 单项选择题（共 7 题）

  1. 单项选择题 1
    积分 $\displaystyle\int_{-1}^1\dfrac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}dx=$（　　）
    A. $0$B. $\pi$C. $2\pi$D. $\dfrac\pi2$
    答案：A
    1. 被积函数为奇函数：$g(-x)=-\dfrac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}=-g(x)$。
    2. 积分区间 $[-1,1]$ 关于原点对称，所以积分为 $0$。
  2. 单项选择题 2
    积分 $\displaystyle\int_{-1}^1\dfrac{e^{x\cos x}-e^{-x\cos x}+1}{1+x^2}dx=$（　　）
    A. $-\dfrac\pi2$B. $\dfrac\pi2$C. $\pi$D. $-\pi$
    答案：B
    1. 因为 $\cos(-x)=\cos x$，所以 $e^{x\cos x}-e^{-x\cos x}$ 是奇函数，在 $[-1,1]$ 上积分为 $0$。
    2. 剩下 $\int_{-1}^1\dfrac{dx}{1+x^2}=[\arctan x]_{-1}^1=\dfrac\pi2$。
  3. 单项选择题 3
    定积分 $\displaystyle\int_0^{13}\dfrac{dx}{\sqrt[3]{2x+1}}$ 作适当变换后可等于（　　）
    A. $\displaystyle\int_1^3\dfrac{dt}{t}$B. $\displaystyle\int_1^33x\,dx$C. $\displaystyle\int_1^3\dfrac x2dx$D. $\displaystyle\int_1^3\dfrac32x\,dx$
    答案：D
    1. 令 $t=\sqrt[3]{2x+1}$，则 $x=\dfrac{t^3-1}{2}$，$dx=\dfrac32t^2dt$。
    2. 被积函数的分母为 $t$，因此原积分化为 $\int_1^3\dfrac32t\,dt$。
    3. 积分变量改用 $x$ 表示，即选项 D。
  4. 单项选择题 4
    $\displaystyle\int_0^\pi\sin x\cos x\,dx=$（　　）
    A. $0$B. $\dfrac12$C. $1$D. $\pi$
    答案：A
    1. $\sin x\cos x=\dfrac12\sin2x$。
    2. $\int_0^\pi\sin2x\,dx=\left[-\dfrac14\cos2x\right]_0^\pi=-\dfrac14+\dfrac14=0$。
  5. 单项选择题 5
    下列积分中，积分结果正确的是（　　）
    A. $\displaystyle\int_a^bf(x)dx=f(b)-f(a)$B. $\displaystyle\int_a^bf'(x)dx=f(b)+f(a)$C. $\displaystyle\int_a^bf'(2x)dx=\dfrac12[f(2b)-f(2a)]$D. $\displaystyle\int_a^bf'(2x)dx=f(2b)-f(2a)$
    答案：C
    1. 牛顿-莱布尼茨公式给出 $\int_a^bf'(x)dx=f(b)-f(a)$，所以 A、B 均错。
    2. 对 $\int_a^bf'(2x)dx$ 令 $u=2x$，则 $dx=\dfrac12du$，积分化为 $\dfrac12\int_{2a}^{2b}f'(u)du$。
    3. 结果为 $\dfrac12[f(2b)-f(2a)]$，故 C 正确。
  6. 单项选择题 6
    定积分 $\displaystyle\int_{-1}^{e-2}\ln(2+x)dx=$（　　）
    A. $1$B. $2$C. $3$D. $4$
    答案：A
    1. 令 $u=2+x$，则下限 $u=1$，上限 $u=e$，原式 $=\int_1^e\ln u\,du$。
    2. $\int\ln u\,du=u\ln u-u+C$，所以积分值为 $(e-e)-(0-1)=1$。
  7. 单项选择题 7
    定积分 $\displaystyle\int_0^{\pi/4}x\cos2x\,dx=$（　　）
    A. $\dfrac\pi2-\dfrac14$B. $\dfrac\pi8-\dfrac12$C. $\dfrac\pi4-\dfrac18$D. $\dfrac\pi8-\dfrac14$
    答案：D
    1. 分部积分：$\int x\cos2x\,dx=\dfrac x2\sin2x+\dfrac14\cos2x+C$。
    2. 在 $0$ 到 $\dfrac\pi4$ 上计算：上限给出 $\dfrac\pi8\cdot1+0=\dfrac\pi8$，下限给出 $0+\dfrac14=\dfrac14$。
    3. 因而原积分 $=\dfrac\pi8-\dfrac14$，选 D。

第四节 定积分的换元法和分部积分法 · 填空题（共 15 题）

  1. 填空题 1
    已知函数 $f(x)=\dfrac{x}{1+x}$，则定积分 $\displaystyle\int_1^2f\left(\dfrac1x\right)dx=$　______。
    答案：$\ln\dfrac32$
    1. $f\left(\dfrac1x\right)=\dfrac{1/x}{1+1/x}=\dfrac1{x+1}$。
    2. $\int_1^2\dfrac{dx}{x+1}=[\ln(x+1)]_1^2=\ln3-\ln2=\ln\dfrac32$。
  2. 填空题 2
    $\displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi}|\sin x|dx=$　______。
    答案：$1$
    1. 在区间 $\left[\dfrac\pi2,\pi\right]$ 上 $\sin x\ge0$，所以 $|\sin x|=\sin x$。
    2. $\int_{\pi/2}^{\pi}\sin x\,dx=[-\cos x]_{\pi/2}^{\pi}=1$。
  3. 填空题 3
    定积分 $\displaystyle\int_0^\pi\sin\dfrac x2dx=$　______。
    答案：$2$
    1. 令 $u=\dfrac x2$，则 $dx=2du$，积分限变为 $0$ 到 $\dfrac\pi2$。
    2. 原式 $=2\int_0^{\pi/2}\sin u\,du=2[-\cos u]_0^{\pi/2}=2$。
  4. 填空题 4
    设 $f(x)$ 是连续的奇函数，且 $\displaystyle\int_0^1f(x)dx=1$，则 $\displaystyle\int_{-1}^0f(x)dx=$　______。
    答案：$-1$
    1. 令 $x=-t$，则 $dx=-dt$，且积分限由 $-1\to0$ 变为 $1\to0$，所以 $\int_{-1}^0f(x)dx=-\int_0^1f(-t)dt$。
    2. 因为 $f$ 是奇函数，$f(-t)=-f(t)$，故原式 $=-\int_0^1[-f(t)]dt=-\int_0^1f(t)dt=-1$。
    3. 也可由奇函数在对称区间上的积分为零：$\int_{-1}^1f(x)dx=0$，因此 $\int_{-1}^0f=-\int_0^1f=-1$。
  5. 填空题 5
    $\displaystyle\int_{-1}^1x^7\cos x\,dx=$　______。
    答案：$0$
    1. $x^7$ 是奇函数，$\cos x$ 是偶函数，所以 $x^7\cos x$ 是奇函数。
    2. 奇函数在对称区间 $[-1,1]$ 上积分为 $0$。
  6. 填空题 6
    设 $f(x)=e^{-x}$，则 $\displaystyle\int_1^2\dfrac{f'(\ln x)}xdx=$　______。
    答案：$-\dfrac12$
    1. $f'(u)=-e^{-u}$，令 $u=\ln x$，则 $du=\dfrac{dx}{x}$，积分限变为 $0$ 到 $\ln2$。
    2. 原式 $=\int_0^{\ln2}-e^{-u}du=[e^{-u}]_0^{\ln2}=\dfrac12-1=-\dfrac12$。
  7. 填空题 7
    $\displaystyle\int_0^1xe^{x^2}dx=$　______。
    答案：$\dfrac{e-1}{2}$
    1. 令 $u=x^2$，则 $du=2x\,dx$，积分限由 $0,1$ 变为 $0,1$。
    2. 原式 $=\dfrac12\int_0^1e^udu=\dfrac12(e-1)$。
  8. 填空题 8
    $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^5x\sin x\,dx=$　______。
    答案：$\dfrac16$
    1. 令 $u=\cos x$，则 $du=-\sin x\,dx$，积分限由 $x=0,\dfrac\pi2$ 变为 $u=1,0$。
    2. 原式 $=\int_0^1u^5du=\dfrac16$。
  9. 填空题 9
    $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^3x\sin2x\,dx=$　______。
    答案：$\dfrac25$
    1. 利用 $\sin2x=2\sin x\cos x$，原式 $=2\int_0^{\pi/2}\sin^4x\cos x\,dx$。
    2. 令 $u=\sin x$，则原式 $=2\int_0^1u^4du=\dfrac25$。
  10. 填空题 10
    积分 $\displaystyle\int_0^4\dfrac{dx}{1+\sqrt x}=$　______。
    答案：$4-2\ln3$
    1. 令 $t=\sqrt x$，则 $x=t^2$，$dx=2t\,dt$，积分限由 $0,4$ 变为 $0,2$。
    2. 原式 $=2\int_0^2\dfrac t{1+t}dt=2\int_0^2\left(1-\dfrac1{1+t}\right)dt$。
    3. 积分得 $2(2-\ln3)=4-2\ln3$。
  11. 填空题 11
    积分 $\displaystyle\int_{-1}^1\dfrac{\sin x+(\arctan x)^2}{1+x^2}dx=$　______。
    答案：$\dfrac{\pi^3}{96}$
    1. $\dfrac{\sin x}{1+x^2}$ 是奇函数，在 $[-1,1]$ 上积分为 $0$；余下部分为偶函数。
    2. 原式 $=2\int_0^1\dfrac{(\arctan x)^2}{1+x^2}dx$。令 $u=\arctan x$，上限为 $\dfrac\pi4$。
    3. 原式 $=2\int_0^{\pi/4}u^2du=\dfrac23\left(\dfrac\pi4\right)^3=\dfrac{\pi^3}{96}$。
  12. 填空题 12
    定积分 $\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(x^2\arctan x+\cos x)dx=$　______。
    答案：$2$
    1. $x^2$ 为偶函数，$\arctan x$ 为奇函数，故 $x^2\arctan x$ 为奇函数，在对称区间上积分为 $0$。
    2. 原式 $=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx=[\sin x]_{-\pi/2}^{\pi/2}=2$。
  13. 填空题 13
    $\displaystyle\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\dfrac{x}{1+\cos x}dx=$　______。
    答案：$0$
    1. $g(x)=\dfrac{x}{1+\cos x}$ 满足 $g(-x)=\dfrac{-x}{1+\cos x}=-g(x)$，为奇函数。
    2. 积分区间关于原点对称，因此积分为 $0$。
  14. 填空题 14
    若 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上连续，则 $\displaystyle\int_{-a}^a[f(x)-f(-x)]dx=$　______。
    答案：$0$
    1. $\int_{-a}^af(x)dx$ 与 $\int_{-a}^af(-x)dx$ 只相差积分变量的记号。
    2. 令 $u=-x$，前者可化为 $\int_{-a}^af(-u)du$，故两部分相等，差为 $0$。
  15. 填空题 15
    积分 $\displaystyle\int_0^{\pi/6}\dfrac{x}{1+\cos2x}dx=$　______。
    答案：$\dfrac{\pi\sqrt3}{36}+\dfrac14\ln3-\dfrac14\ln2$
    1. 由 $1+\cos2x=2\cos^2x$，原式 $=\dfrac12\int_0^{\pi/6}x\sec^2x\,dx$。
    2. 分部积分得 $\dfrac12[x\tan x+\ln|\cos x|]_0^{\pi/6}$。
    3. 代入 $x=\dfrac\pi6$：$\dfrac12\left(\dfrac{\pi}{6\sqrt3}+\ln\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$。
    4. 化简第一项为 $\dfrac{\pi\sqrt3}{36}$，第二项为 $\dfrac14\ln3-\dfrac14\ln2$。

第四节 定积分的换元法和分部积分法 · 计算题（共 22 题）

  1. 计算题 1
    计算定积分 $\displaystyle\int_1^3(x-2)^3dx$。
    答案：$0$
    1. 令 $u=x-2$，积分限由 $1,3$ 变为 $-1,1$，原式为 $\int_{-1}^1u^3du$。
    2. $u^3$ 是奇函数，在对称区间上积分为 $0$。
  2. 计算题 2
    计算定积分 $\displaystyle\int_0^1(e^x-1)^4e^xdx$。
    答案：$\dfrac{(e-1)^5}{5}$
    1. 令 $u=e^x-1$，则 $du=e^xdx$，积分限由 $0,1$ 变为 $0,e-1$。
    2. 原式 $=\int_0^{e-1}u^4du=\dfrac{(e-1)^5}{5}$。
  3. 计算题 3
    计算定积分 $\displaystyle\int_1^3\dfrac{\arctan\sqrt x}{\sqrt x(1+x)}dx$。
    答案：$\dfrac{7\pi^2}{144}$
    1. 令 $t=\sqrt x$，则 $dt=\dfrac{dx}{2\sqrt x}$，且 $1+x=1+t^2$；积分限变为 $1$ 到 $\sqrt3$。
    2. 原式 $=2\int_1^{\sqrt3}\dfrac{\arctan t}{1+t^2}dt$。再令 $u=\arctan t$，上下限为 $\dfrac\pi4,\dfrac\pi3$。
    3. 原式 $=2\int_{\pi/4}^{\pi/3}u\,du=\left[u^2\right]_{\pi/4}^{\pi/3}=\pi^2\left(\dfrac19-\dfrac1{16}\right)=\dfrac{7\pi^2}{144}$。
  4. 计算题 4
    求定积分 $\displaystyle\int_0^1x\sqrt{1-x}\,dx$。
    答案：$\dfrac4{15}$
    1. 令 $u=1-x$，则 $x=1-u$，$dx=-du$，积分限仍为 $1$ 到 $0$，交换后可写成 $\int_0^1(1-u)\sqrt u\,du$。
    2. 原式 $=\int_0^1(u^{1/2}-u^{3/2})du=\dfrac23-\dfrac25=\dfrac4{15}$。
  5. 计算题 5
    计算定积分 $\displaystyle\int_0^1\arctan x\,dx$。
    答案：$\dfrac\pi4-\dfrac12\ln2$
    1. 分部积分：$\int_0^1\arctan x\,dx=[x\arctan x]_0^1-\int_0^1\dfrac{x}{1+x^2}dx$。
    2. 第一项为 $\dfrac\pi4$，第二项为 $\dfrac12[\ln(1+x^2)]_0^1=\dfrac12\ln2$。
    3. 故结果为 $\dfrac\pi4-\dfrac12\ln2$。
  6. 计算题 6
    求定积分 $\displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{(1+x^2)^2}dx$。
    答案：$\dfrac14$
    1. 令 $u=1+x^2$，则 $du=2x\,dx$，积分限由 $1$ 到 $2$。
    2. 原式 $=\dfrac12\int_1^2u^{-2}du=\dfrac12\left[-\dfrac1u\right]_1^2=\dfrac14$。
  7. 计算题 7
    求定积分 $\displaystyle\int_0^{3/2}\dfrac{1-x}{\sqrt{9-x^2}}dx$。
    答案：$\dfrac\pi6+\dfrac{3\sqrt3}{2}-3$
    1. 拆分：$\int_0^{3/2}\dfrac{dx}{\sqrt{9-x^2}}-\int_0^{3/2}\dfrac{x\,dx}{\sqrt{9-x^2}}$。
    2. 第一项为 $[\arcsin(x/3)]_0^{3/2}=\dfrac\pi6$。
    3. 第二项为 $[\sqrt{9-x^2}]_0^{3/2}=\dfrac{3\sqrt3}{2}-3$，两式相减即为答案。
  8. 计算题 8
    求定积分 $\displaystyle\int_0^\pi\cos^2x\cos2x\,dx$。
    答案：$\dfrac\pi4$
    1. $\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}$，所以原式 $=\dfrac12\int_0^\pi\cos2x\,dx+\dfrac12\int_0^\pi\cos^22x\,dx$。
    2. $\int_0^\pi\cos2x\,dx=0$。
    3. $\int_0^\pi\cos^22x\,dx=\dfrac12\int_0^\pi(1+\cos4x)dx=\dfrac\pi2$，乘 $\dfrac12$ 得 $\dfrac\pi4$。
  9. 计算题 9
    求定积分 $\displaystyle\int_1^8\dfrac1{x+\sqrt[3]x}dx$。
    答案：$\dfrac32\ln\dfrac52$
    1. 令 $t=\sqrt[3]x$，则 $x=t^3$，$dx=3t^2dt$，积分限变为 $1$ 到 $2$。
    2. 原式 $=\int_1^2\dfrac{3t^2}{t^3+t}dt=3\int_1^2\dfrac t{t^2+1}dt$。
    3. $= \dfrac32[\ln(t^2+1)]_1^2=\dfrac32\ln\dfrac52$。
  10. 计算题 10
    求定积分 $\displaystyle\int_0^3\dfrac{x}{1+\sqrt{1+x}}dx$。
    答案：$\dfrac53$
    1. 因 $\dfrac{x}{1+\sqrt{1+x}}=\sqrt{1+x}-1$，可先化简被积函数。
    2. 令 $u=\sqrt{1+x}$，则 $dx=2u\,du$，原式 $=2\int_1^2u(u-1)du$。
    3. $=2\left[\dfrac{u^3}{3}-\dfrac{u^2}{2}\right]_1^2=2\left(\dfrac23+\dfrac16\right)=\dfrac53$。
  11. 计算题 11
    求定积分 $\displaystyle\int_1^2\dfrac1{\sqrt x\sqrt{4-x}}dx$。
    答案：$\dfrac\pi6$
    1. 令 $t=\sqrt x$，则 $dx=2t\,dt$，$\sqrt{4-x}=\sqrt{4-t^2}$，积分限变为 $1$ 到 $\sqrt2$。
    2. 原式 $=2\int_1^{\sqrt2}\dfrac{dt}{\sqrt{4-t^2}}=2\left[\arcsin\dfrac t2\right]_1^{\sqrt2}$。
    3. $=2\left(\dfrac\pi4-\dfrac\pi6\right)=\dfrac\pi6$。
  12. 计算题 12
    求定积分 $\displaystyle\int_1^2x(x-1)^{1/3}dx$。
    答案：$\dfrac{33}{28}$
    1. 令 $u=x-1$，则 $x=u+1$，$dx=du$，积分限为 $0$ 到 $1$。
    2. 原式 $=\int_0^1(u^{4/3}+u^{1/3})du=\dfrac37+\dfrac34=\dfrac{33}{28}$。
  13. 计算题 13
    求定积分 $\displaystyle\int_0^{1/2}\dfrac{dx}{\sqrt{(1-x^2)^3}}$。
    答案：$\dfrac1{\sqrt3}$
    1. 令 $x=\sin\theta$，则 $dx=\cos\theta\,d\theta$，上下限变为 $0,\dfrac\pi6$。
    2. 分母为 $\cos^3\theta$，原式 $=\int_0^{\pi/6}\sec^2\theta\,d\theta=\tan\dfrac\pi6=\dfrac1{\sqrt3}$。
  14. 计算题 14
    求定积分 $\displaystyle\int_1^{\sqrt3}\dfrac{dx}{x^2\sqrt{1+x^2}}$。
    答案：$\sqrt2-\dfrac{2\sqrt3}{3}$
    1. 令 $x=\tan\theta$，则 $dx=\sec^2\theta d\theta$，上下限由 $\dfrac\pi4$ 到 $\dfrac\pi3$。
    2. 原式 $=\int_{\pi/4}^{\pi/3}\dfrac{\sec^2\theta}{\tan^2\theta\sec\theta}d\theta=\int_{\pi/4}^{\pi/3}\csc\theta\cot\theta d\theta$。
    3. $=-\left[\csc\theta\right]_{\pi/4}^{\pi/3}=\sqrt2-\dfrac2{\sqrt3}$。
  15. 计算题 15
    已知 $f(x)=\begin{cases}\dfrac1{1+x},&x>0,\\\dfrac1{1+e^x},&x\le0,\end{cases}$ 求 $\displaystyle\int_{-1}^1f(x)dx$。
    答案：$\ln(1+e)$
    1. 原积分拆为 $\int_{-1}^0\dfrac{dx}{1+e^x}+\int_0^1\dfrac{dx}{1+x}$。
    2. 第一项令 $t=e^x$，化为 $\int_{e^{-1}}^1\dfrac{dt}{t(1+t)}=\left[\ln t-\ln(1+t)\right]_{e^{-1}}^1=1+\ln\dfrac{1+e^{-1}}2$。
    3. 第二项为 $\ln2$，所以总和为 $1+\ln\dfrac{1+e^{-1}}2+\ln2=1+\ln(1+e^{-1})=\ln(1+e)$。
  16. 计算题 16
    设函数 $f(x)=\begin{cases}1+x^2,&x\le0,\\e^{-x},&x>0,\end{cases}$ 求 $\displaystyle\int_1^3f(x-2)dx$。
    答案：$\dfrac53-e^{-1}$
    1. 令 $t=x-2$，积分限由 $1,3$ 变为 $-1,1$，原式为 $\int_{-1}^1f(t)dt$。
    2. $\int_{-1}^0(1+t^2)dt=\dfrac23$，且 $\int_0^1e^{-t}dt=1-e^{-1}$。
    3. 相加得 $\dfrac53-e^{-1}$。
  17. 计算题 17
    求定积分 $\displaystyle\int_0^\pi x^2\sin x\,dx$。
    答案：$\pi^2-4$
    1. 分部积分两次：$\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$。
    2. 代入上下限：$x=\pi$ 时为 $\pi^2-2$，$x=0$ 时为 $2$。
    3. 相减得 $(\pi^2-2)-2=\pi^2-4$。
  18. 计算题 18
    求定积分 $\displaystyle\int_{\pi/4}^{\pi/3}\dfrac{x}{\sin^2x}dx$。
    答案：$\dfrac\pi4-\dfrac{\pi\sqrt3}{9}+\dfrac12\ln3$
    1. 原式为 $\int x\csc^2x\,dx$，分部积分得 $-x\cot x+\ln|\sin x|+C$。
    2. 在 $x=\dfrac\pi3$ 处：$-\dfrac{\pi}{3\sqrt3}+\ln\dfrac{\sqrt3}{2}$；在 $x=\dfrac\pi4$ 处：$-\dfrac\pi4+\ln\dfrac{\sqrt2}{2}$。
    3. 相减得 $\dfrac\pi4-\dfrac{\pi\sqrt3}{9}+\ln\dfrac{\sqrt3}{2}-\ln\dfrac{\sqrt2}{2}$。
    4. 后两项之差为 $\dfrac12\ln3$，故答案为 $\dfrac\pi4-\dfrac{\pi\sqrt3}{9}+\dfrac12\ln3$。
  19. 计算题 19
    求定积分 $\displaystyle\int_0^4\cos(\sqrt x-1)dx$。
    答案：$4\sin1$
    1. 令 $t=\sqrt x$，则 $x=t^2$，$dx=2t\,dt$，积分化为 $2\int_0^2t\cos(t-1)dt$。
    2. 分部积分得 $\int t\cos(t-1)dt=t\sin(t-1)+\cos(t-1)+C$。
    3. 定积分为 $2\left[2\sin1+\cos1-\cos(-1)\right]=4\sin1$。
  20. 计算题 20
    设 $f(2x-1)=x\ln x$，求 $\displaystyle\int_1^3f(t)dt$。
    答案：$4\ln2-\dfrac32$
    1. 令 $t=2x-1$，则 $x=\dfrac{t+1}{2}$，$dt=2dx$。当 $t=1,3$ 时，$x=1,2$。
    2. 原式 $=2\int_1^2x\ln x\,dx$。
    3. 分部积分得 $\int x\ln x\,dx=\dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac{x^2}{4}$，代入 $1$ 到 $2$ 后乘 $2$，得 $4\ln2-\dfrac32$。
  21. 计算题 21
    已知 $f(x)=\dfrac1{1+x^2}+x^3\displaystyle\int_0^1f(x)dx$，求 $f(x)$。
    答案：$f(x)=\dfrac1{1+x^2}+\dfrac{\pi}{3}x^3$
    1. 记 $A=\int_0^1f(x)dx$。对题式在 $[0,1]$ 上积分，得 $A=\int_0^1\dfrac{dx}{1+x^2}+A\int_0^1x^3dx$。
    2. 所以 $A=\dfrac\pi4+\dfrac A4$，解得 $A=\dfrac\pi3$。
    3. 回代得 $f(x)=\dfrac1{1+x^2}+\dfrac{\pi}{3}x^3$。
  22. 计算题 22
    求定积分 $\displaystyle\int_0^\pi\sqrt{\sin^2x-\sin^4x}dx$。
    答案：$1$
    1. $\sin^2x-\sin^4x=\sin^2x(1-\sin^2x)=\sin^2x\cos^2x$。
    2. 原式 $=\int_0^\pi|\sin x\cos x|dx=\dfrac12\int_0^\pi|\sin2x|dx$。
    3. 在 $[0,\pi]$ 上 $|\sin2x|$ 有两个完整半波，其积分为 $2\int_0^{\pi/2}\sin2x\,dx=2$。
    4. 因此原式为 $\dfrac12\times2=1$。

第五节 微积分 · 经典练习（共 5 题）

  1. 经典练习 1
    设函数 $\Phi(x)=\displaystyle\int_0^x(t-1)dt$，则下列结论正确的是（　　）
    A. $\Phi(x)$ 的极大值为 $1$B. $\Phi(x)$ 的极小值为 $1$C. $\Phi(x)$ 的极大值为 $-\dfrac12$D. $\Phi(x)$ 的极小值为 $-\dfrac12$
    答案：D
    1. 由微积分基本定理，$\Phi'(x)=x-1$，唯一驻点为 $x=1$。
    2. 当 $x<1$ 时 $\Phi'<0$，当 $x>1$ 时 $\Phi'>0$，所以 $x=1$ 为极小值点。
    3. $\Phi(1)=\int_0^1(t-1)dt=\left[\dfrac{t^2}{2}-t\right]_0^1=-\dfrac12$。
  2. 经典练习 2
    已知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $y=\displaystyle\int_0^{2x}f\left(\dfrac t2\right)dt-2\int[1+f(x)]dx$，则 $y'=$　______。
    答案：$-2$
    1. 第一项中令 $u=\dfrac t2$，则 $\int_0^{2x}f\left(\dfrac t2\right)dt=2\int_0^xf(u)du$，其导数为 $2f(x)$。
    2. 第二项的不定积分对 $x$ 求导为 $2[1+f(x)]$。
    3. 因此 $y'=2f(x)-2[1+f(x)]=-2$。
  3. 经典练习 3
    求极限 $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\int_0^x\ln^2(1+t)dt}{x^2}$。
    答案：$0$
    1. 当 $x\to0$ 时，分子、分母均趋于 $0$，可用洛必达法则。
    2. 原式 $=\lim_{x\to0}\dfrac{\ln^2(1+x)}{2x}$。
    3. 由 $\ln(1+x)\sim x$，分子等价于 $x^2$，故极限为 $\lim_{x\to0}\dfrac{x}{2}=0$。
  4. 经典练习 4
    设 $f(x)=\begin{cases}x^2,&x\le2,\\6-x,&x>2,\end{cases}$，$F(x)=\displaystyle\int_0^xf(t)dt$。求 $F(x)$ 的表达式，并讨论 $F(x)$ 在点 $x=2$ 处的连续性。
    答案：$F(x)=\begin{cases}\dfrac{x^3}{3},&x\le2,\\6x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{22}{3},&x\ge2,\end{cases}$，在 $x=2$ 处连续
    1. 当 $x\le2$ 时，$F(x)=\int_0^xt^2dt=\dfrac{x^3}{3}$。
    2. 当 $x\ge2$ 时，$F(x)=\dfrac83+\int_2^x(6-t)dt=\dfrac83+6x-\dfrac{x^2}{2}-10=6x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{22}{3}$。
    3. 右式代入 $x=2$ 得 $12-2-\dfrac{22}{3}=\dfrac83$，与左式 $\dfrac{2^3}{3}=\dfrac83$ 相等。
    4. 分段积分函数本身连续，故 $F(x)$ 在 $x=2$ 处连续。题面只从 $0$ 开始积分，故按 $x\ge0$ 写出。
  5. 经典练习 5
    已知函数 $f(x)$ 是 $g(x)=5x^4-20x^3+15x^2$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的一个原函数，且 $f(0)=0$。（1）求 $f(x)$；（2）求 $f(x)$ 的单调区间和极值；（3）求极限 $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\int_0^x\sin^4t\,dt}{f(x)}$。
    答案：（1）$f(x)=x^5-5x^4+5x^3$；（2）增区间 $(-\infty,1],[3,+\infty)$，减区间 $[1,3]$，极大值 $f(1)=1$，极小值 $f(3)=-27$；（3）$0$
    1. 积分 $g(x)$ 并利用 $f(0)=0$，得 $f(x)=x^5-5x^4+5x^3$。
    2. $f'(x)=g(x)=5x^2(x-1)(x-3)$。符号为：$x<0$ 正，$0<x<1$ 正，$1<x<3$ 负，$x>3$ 正。
    3. 因而 $f$ 在 $(-\infty,1]$ 上递增，在 $[1,3]$ 上递减，在 $[3,+\infty)$ 上递增。$x=1$ 为极大值点，$x=3$ 为极小值点。
    4. $f(1)=1$，$f(3)=243-405+135=-27$；$x=0$ 两侧导数均为正，不是极值点。
    5. 第（3）题用洛必达：原极限 $=\lim_{x\to0}\dfrac{\sin^4x}{g(x)}$。又 $\sin^4x\sim x^4$，$g(x)\sim15x^2$，极限为 $\lim_{x\to0}\dfrac{x^2}{15}=0$。

第五节 微积分 · 单项选择题（共 17 题）

  1. 单项选择题 1
    设 $f(x)$ 是连续函数，则 $\displaystyle\int_a^{x^2}f(t)dt$ 是（　　）
    A. $f(x)$ 的一个原函数B. $f(x)$ 的全体原函数C. $2xf(x^2)$ 的一个原函数D. $2xf(x^2)$ 的全体原函数
    答案：C
    1. 令 $F(x)=\int_a^{x^2}f(t)dt$。
    2. 由复合函数求导，$F'(x)=f(x^2)\cdot2x=2xf(x^2)$。
    3. 所以 $F$ 是 $2xf(x^2)$ 的一个原函数，而不是全体原函数。
  2. 单项选择题 2
    设 $f(x)=\displaystyle\int_0^x\cos t\,dt$，则 $f\left[f\left(\dfrac\pi2\right)\right]=$（　　）
    A. $-1$B. $1$C. $-\cos1$D. $\sin1$
    答案：D
    1. $f(x)=[\sin t]_0^x=\sin x$。
    2. $f\left(\dfrac\pi2\right)=\sin\dfrac\pi2=1$。
    3. 再代入得 $f(1)=\sin1$。
  3. 单项选择题 3
    设 $f(x)$ 为连续函数，且 $\displaystyle\int_0^xf(t)dt=a^{2x}-1(a>0$ 且 $a\ne1)$，则 $f(x)=$（　　）
    A. $2a^{2x}$B. $a^{2x}\ln a$C. $2xa^{2x-1}$D. $2a^{2x}\ln a$
    答案：D
    1. 对等式两边求导，左边为 $f(x)$。
    2. 右边 $(a^{2x}-1)'=a^{2x}\ln a\cdot2$。
    3. 因此 $f(x)=2a^{2x}\ln a$。
  4. 单项选择题 4
    已知函数 $f(x)=\displaystyle\int_0^xt\sin t\,dt$，则 $f'(x)=$（　　）
    A. $\sin x$B. $x\cos x$C. $-x\cos x$D. $x\sin x$
    答案：D
    1. 被积函数 $t\sin t$ 关于 $t$ 连续。
    2. 由变上限积分求导公式，直接以 $x$ 替换 $t$，得 $f'(x)=x\sin x$。
  5. 单项选择题 5
    $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^0e^tdt=$（　　）
    A. $-e^x$B. $e^x-1$C. $-e^{x-1}$D. $e^{x+1}$
    答案：A
    1. 先交换上下限：$\int_x^0e^tdt=-\int_0^xe^tdt$。
    2. 求导得 $-e^x$。
  6. 单项选择题 6
    设函数 $f(x)=\displaystyle\int_0^xe^{t^2}dt$，则 $f'(0)=$（　　）
    A. $0$B. $1$C. $2$D. $e$
    答案：B
    1. $f'(x)=e^{x^2}$。
    2. 代入 $x=0$，得 $f'(0)=e^0=1$。
  7. 单项选择题 7
    设函数 $f(x)$ 连续，且 $F(x)=\displaystyle\int_x^{e^{-x}}f(t)dt$，则 $F'(x)=$（　　）
    A. $-e^{-x}f(e^{-x})-f(x)$B. $-e^{-x}f(e^{-x})+f(x)^2$C. $e^{-x}f(e^{-x})-f(x)$D. $e^{-x}f(e^{-x})+f(x)$
    答案：A
    1. 令 $G(u)=\int_0^uf(t)dt$，则 $F(x)=G(e^{-x})-G(x)$。
    2. $F'(x)=f(e^{-x})(e^{-x})'-f(x)=-e^{-x}f(e^{-x})-f(x)$。
  8. 单项选择题 8
    $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\int_0^x\sin t^2dt}{x^3}=$（　　）
    A. $0$B. $80$C. $\dfrac23$D. $\dfrac13$
    答案：D
    1. 分子分母均趋于 $0$，用洛必达法则，原式 $=\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x^2}{3x^2}$。
    2. 因 $\sin x^2\sim x^2$，极限为 $\dfrac13$。
  9. 单项选择题 9
    $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续，则 $x=0$ 是函数 $g(x)=\dfrac{\int_0^xf(t)dt}{x}$ 的（　　）
    A. 可去间断点B. 跳跃间断点C. 连续点D. 第二类间断点
    答案：A
    1. 当 $x\ne0$ 时分母不为零；$g(0)$ 在原式中没有定义。
    2. 由洛必达法则，$\lim_{x\to0}g(x)=\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}1=f(0)$，极限存在。
    3. 补充定义 $g(0)=f(0)$ 后可连续，所以 $x=0$ 是可去间断点。
  10. 单项选择题 10
    设函数 $f(x)=\displaystyle\int_0^x\ln(t+5)dt$，则 $f'(x)=$（　　）
    A. $x+5$B. $\ln(x+5)$C. $\dfrac1{x+5}$D. $-\dfrac1{x+5}$
    答案：B
    1. 被积函数 $\ln(t+5)$ 连续。
    2. 对变上限积分求导，$f'(x)=\ln(x+5)$。
  11. 单项选择题 11
    设 $f(x)=\displaystyle\int_0^xt^2dt$，则 $f(1)=$（　　）
    A. $-\dfrac13$B. $\dfrac13$C. $-1$D. $1$
    答案：B
    1. $f(x)=\left[\dfrac{t^3}{3}\right]_0^x=\dfrac{x^3}{3}$。
    2. $f(1)=\dfrac13$。
  12. 单项选择题 12
    设 $f(x)=\begin{cases}1,&-1\le x<0,\\2,&0\le x\le1,\end{cases}$ 则 $\displaystyle\int_{-1}^1f(x)dx=$（　　）
    A. $3$B. $5$C. $1$D. $2$
    答案：A
    1. 按分段点拆分：$\int_{-1}^1f(x)dx=\int_{-1}^01dx+\int_0^12dx$。
    2. 结果为 $1\times1+2\times1=3$。
  13. 单项选择题 13
    $\displaystyle\int_0^{\pi/2}2\sin x\,dx=$（　　）
    A. $\dfrac12$B. $1$C. $2$D. $3$
    答案：C
    1. 原式 $=2[-\cos x]_0^{\pi/2}$。
    2. $=2(0+1)=2$。
  14. 单项选择题 14
    下列积分满足牛顿-莱布尼茨公式条件的是（　　）
    A. $\displaystyle\int_0^2xe^xdx$B. $\displaystyle\int_0^2\dfrac1{1-x}dx$C. $\displaystyle\int_{1/e}^e\dfrac1{x\ln x}dx$D. $\displaystyle\int_{-1}^1\dfrac1{1-x^2}dx$
    答案：A
    1. 牛顿-莱布尼茨公式要求被积函数在闭积分区间上连续。
    2. A 中 $xe^x$ 在 $[0,2]$ 上连续，满足条件。
    3. B 在 $x=1$ 无定义，C 在 $x=1$ 无定义，D 在 $x=\pm1$ 无定义，均不满足。
  15. 单项选择题 15
    已知 $\displaystyle\int_0^k(2x-3x^2)dx=0$，则 $k=$（　　）
    A. $0$ 或 $1$B. $0$ 或 $-1$C. $0$ 或 $2$D. $1$ 或 $-1$
    答案：A
    1. 积分得 $[x^2-x^3]_0^k=k^2-k^3=k^2(1-k)$。
    2. 令 $k^2(1-k)=0$，得 $k=0$ 或 $k=1$。
  16. 单项选择题 16
    已知 $f(x)=x^2+\cos x+\dfrac12\displaystyle\int_0^1f(x)dx$，则 $\displaystyle\int_0^1f(x)dx=$（　　）
    A. $\dfrac23+\sin1$B. $\dfrac23+2\sin1$C. $\dfrac23-2\sin1$D. $\dfrac13+\sin1$
    答案：B
    1. 记 $A=\int_0^1f(x)dx$，对题式在 $[0,1]$ 上积分，得 $A=\dfrac13+\sin1+\dfrac A2$。
    2. 移项得 $\dfrac A2=\dfrac13+\sin1$，所以 $A=\dfrac23+2\sin1$。
  17. 单项选择题 17
    设 $\displaystyle\int_0^xe^tdt=e$，则 $x=$（　　）
    A. $e+1$B. $e$C. $\ln(e+1)$D. $\ln(e-1)$
    答案：C
    1. $\int_0^xe^tdt=e^x-1$。
    2. 令 $e^x-1=e$，得 $e^x=e+1$，所以 $x=\ln(e+1)$。

第五节 微积分 · 填空题（共 11 题）

  1. 填空题 1
    设 $f(x)=\displaystyle\int_0^x|t|dt$，则 $f'(x)=$　______。
    答案：$|x|$
    1. 被积函数 $|t|$ 在任意有限区间上连续。
    2. 由变上限积分求导，$f'(x)=|x|$。
  2. 填空题 2
    设 $F(x)=\displaystyle\int_1^{x^2}\dfrac1{\sqrt{1+t^3}}dt$，则 $\dfrac{dF(x)}{dx}=$　______。
    答案：$\dfrac{2x}{\sqrt{1+x^6}}$
    1. 由复合函数求导，$F'(x)=f(x^2)\cdot2x$，其中 $f(t)=\dfrac1{\sqrt{1+t^3}}$。
    2. 代入得 $\dfrac{2x}{\sqrt{1+(x^2)^3}}=\dfrac{2x}{\sqrt{1+x^6}}$。
  3. 填空题 3
    极限 $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\int_0^{x^2}\sin t\,dt}{x^4}=$　______。
    答案：$\dfrac12$
    1. 当 $x\to0$ 时，$\int_0^{x^2}\sin t\,dt\sim\int_0^{x^2}t\,dt=\dfrac{x^4}{2}$。
    2. 因此原极限为 $\dfrac12$。
  4. 填空题 4
    已知当 $x\to0$ 时，$\displaystyle\int_0^xt^2dt$ 与 $x^\alpha$ 是同阶无穷小，则常数 $\alpha=$　______。
    答案：$3$
    1. $\int_0^xt^2dt=\dfrac{x^3}{3}$。
    2. 该无穷小与 $x^3$ 同阶，所以 $\alpha=3$。
  5. 填空题 5
    函数 $F(x)=\displaystyle\int_1^x\left(2-\dfrac1{\sqrt t}\right)dt(x>0)$ 的单调递减区间是　______。
    答案：$\left(0,\dfrac14\right)$
    1. $F'(x)=2-\dfrac1{\sqrt x}$。
    2. 要求 $F'(x)<0$，即 $\sqrt x<\dfrac12$，得 $0<x<\dfrac14$。
  6. 填空题 6
    如果 $f(x)$ 有连续导数，且 $f(b)=5$，$f(a)=3$，则 $\displaystyle\int_a^bf'(x)dx=$　______。
    答案：$2$
    1. 由牛顿-莱布尼茨公式，$\int_a^bf'(x)dx=f(b)-f(a)$。
    2. 代入得 $5-3=2$。
  7. 填空题 7
    $\displaystyle\int_0^1(4-x^2)dx=$　______。
    答案：$\dfrac{11}{3}$
    1. 原函数为 $4x-\dfrac{x^3}{3}$。
    2. 代入 $0,1$，得 $4-\dfrac13=\dfrac{11}{3}$。
  8. 填空题 8
    若 $a>0$ 且 $\displaystyle\int_1^a\left(2x+\dfrac1x\right)dx=3+\ln2$，则 $a$ 的值是　______。
    答案：$2$
    1. 积分得 $[x^2+\ln x]_1^a=a^2+\ln a-1$。
    2. 令其为 $3+\ln2$，得 $a^2-4+\ln\dfrac a2=0$。
    3. 观察 $a=2$ 时两项均为 $0$；在 $a>0$ 时可由单调性确定这是唯一解。
  9. 填空题 9
    定积分 $\displaystyle\int_1^{\sqrt3}\dfrac1{1+x^2}dx=$　______。
    答案：$\dfrac\pi{12}$
    1. 原式 $=[\arctan x]_1^{\sqrt3}$。
    2. $=\arctan\sqrt3-\arctan1=\dfrac\pi3-\dfrac\pi4=\dfrac\pi{12}$。
  10. 填空题 10
    设 $f(x)=\begin{cases}x^2+1,&0\le x<1,\\x,&1\le x\le2,\end{cases}$ 则 $\displaystyle\int_0^2f(x)dx=$　______。
    答案：$\dfrac{17}{6}$
    1. 分段积分：$\int_0^1(x^2+1)dx+\int_1^2x\,dx$。
    2. 第一项为 $\dfrac13+1=\dfrac43$，第二项为 $\dfrac32$。
    3. 相加得 $\dfrac43+\dfrac32=\dfrac{17}{6}$。
  11. 填空题 11
    已知 $\displaystyle\int_0^{2x}f(3t)dt=4x^3$，则 $f(12)=$　______。
    答案：$24$
    1. 令 $u=3t$，则左边 $=\dfrac13\int_0^{6x}f(u)du$。
    2. 对 $\dfrac13\int_0^{6x}f(u)du=4x^3$ 两边求导，得 $2f(6x)=12x^2$，即 $f(6x)=6x^2$。
    3. 取 $x=2$，则 $f(12)=6\times2^2=24$。

第五节 微积分 · 计算题（共 8 题）

  1. 计算题 1
    求 $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac1{x-1}\int_1^x\dfrac{\sin t}{t}dt$。
    答案：$\sin1$
    1. 原式为 $\dfrac{\int_1^x\frac{\sin t}{t}dt-0}{x-1}$，这是变上限积分在 $x=1$ 处的导数。
    2. 由微积分基本定理，导数为 $\dfrac{\sin x}{x}$，代入 $x=1$ 得 $\sin1$。
  2. 计算题 2
    求极限 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x\int_0^x\dfrac{(\arctan t)^2}{t}dt$。
    答案：$0$
    1. 当 $t\to+\infty$ 时，$\arctan t\to\dfrac\pi2$，故被积函数渐近于 $\dfrac{\pi^2}{4t}$。
    2. 因此积分增长阶为 $\ln x$，即 $\int_0^x\dfrac{(\arctan t)^2}{t}dt=O(\ln x)$。
    3. $\dfrac{\ln x}{x}\to0$，原极限为 $0$。
  3. 计算题 3
    求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\int_{\cos x}^1e^{-t^2}dt}{x\ln(1+x)}$。
    答案：$\dfrac1{2e}$
    1. 对分子求导：$\dfrac{d}{dx}\int_{\cos x}^1e^{-t^2}dt=e^{-\cos^2x}\sin x$。
    2. 对分母求导：$\ln(1+x)+\dfrac{x}{1+x}$。
    3. 当 $x\to0$ 时，分子导数等价于 $e^{-1}x$，分母导数等价于 $2x$。
    4. 因此原极限为 $\dfrac1{2e}$。
  4. 计算题 4
    求极限 $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{x^2-\int_0^{x^2}\cos t^2dt}{x^{10}}$。
    答案：$\dfrac1{10}$
    1. 令 $u=x^2$，则原式 $=\lim_{u\to0^+}\dfrac{u-\int_0^u\cos t^2dt}{u^5}$。
    2. 由 $\cos t^2=1-\dfrac{t^4}{2}+o(t^4)$，得 $\int_0^u\cos t^2dt=u-\dfrac{u^5}{10}+o(u^5)$。
    3. 分子为 $\dfrac{u^5}{10}+o(u^5)$，所以极限为 $\dfrac1{10}$。
  5. 计算题 5
    已知函数 $f(x)$ 处处连续，且满足方程 $\displaystyle\int_0^xf(t)dt=-\dfrac12+x^2+x\sin2x+\dfrac12\cos2x$，求 $f'\left(\dfrac\pi4\right)$。
    答案：$2-\pi$
    1. 对等式两边求导：$f(x)=2x+\sin2x+2x\cos2x-\sin2x=2x+2x\cos2x$。
    2. 再求导：$f'(x)=2+2\cos2x-4x\sin2x$。
    3. 代入 $x=\dfrac\pi4$：$f'\left(\dfrac\pi4\right)=2+0-\pi=2-\pi$。
  6. 计算题 6
    设 $f(x)=\displaystyle\int_x^0te^{-t^2}dt$，求 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上的最大值。
    答案：$\dfrac12(e^{-1}-1)$
    1. $f'(x)=-x e^{-x^2}<0$ 在 $[1,2]$ 上成立，所以函数单调递减。
    2. 最大值在左端点 $x=1$ 取得：$f(1)=\int_1^0te^{-t^2}dt=-\dfrac12[e^{-t^2}]_1^0$。
    3. 化简得 $\dfrac12(e^{-1}-1)$。
  7. 计算题 7
    计算定积分 $\displaystyle\int_0^1\sqrt x(x^2-1)dx$。
    答案：$-\dfrac8{21}$
    1. 展开为 $\int_0^1(x^{5/2}-x^{1/2})dx$。
    2. 积分得 $\dfrac27-\dfrac23=\dfrac{6-14}{21}=-\dfrac8{21}$。
  8. 计算题 8
    计算 $\displaystyle\int_{\pi/2}^{3/2}|x-x^2|dx$。
    答案：$\dfrac{\pi^2}{8}-\dfrac{\pi^3}{24}$
    1. 在积分区间 $\left[\dfrac\pi2,\dfrac32\right]$ 上，$0<x<2$，故 $x-x^2<0$，有 $|x-x^2|=x^2-x$。
    2. 原式 $=\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}\right]_{\pi/2}^{3/2}$。
    3. 上限代入为 $0$；下限代入为 $\dfrac{\pi^3}{24}-\dfrac{\pi^2}{8}$，相减得 $\dfrac{\pi^2}{8}-\dfrac{\pi^3}{24}$。

第六节 反常积分（共 5 题）

  1. 第六节 1
    广义积分 $\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-x}dx$（　　）
    A. 收敛且等于 $-1$B. 收敛且等于 $0$C. 收敛且等于 $1$D. 发散
    答案：C
    1. 按反常积分的定义，$\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-x}dx=\lim_{b\to+\infty}\int_0^be^{-x}dx$。
    2. $\displaystyle\int_0^be^{-x}dx=\left[-e^{-x}\right]_0^b=1-e^{-b}$。
    3. 当 $b\to+\infty$ 时，$e^{-b}\to0$，故积分收敛，值为 $1$。
  2. 第六节 2
    已知 $\dfrac1{x^2}$ 是函数 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\displaystyle\int_1^{+\infty}f(x)dx=$（　　）
    A. $2$B. $1$C. $-1$D. $-2$
    答案：C
    1. 若 $F(x)=\dfrac1{x^2}$ 是 $f$ 的一个原函数，则对任意 $b>1$，有 $\displaystyle\int_1^bf(x)dx=F(b)-F(1)$。
    2. 于是 $\displaystyle\int_1^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to+\infty}\left(\dfrac1{b^2}-1\right)=0-1=-1$。
    3. 也可直接写 $\left[\dfrac1{x^2}\right]_1^{+\infty}=-1$。
  3. 第六节 3
    若常数 $p>1$，则广义积分 $\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac1{x^p}dx=$　______。
    答案：$\dfrac1{p-1}$
    1. 因为 $p\ne1$，有 $\displaystyle\int_1^b\dfrac{dx}{x^p}=\left[\dfrac{x^{1-p}}{1-p}\right]_1^b=\dfrac{b^{1-p}-1}{1-p}$。
    2. 由 $p>1$ 得 $1-p<0$，所以 $b^{1-p}\to0$（$b\to+\infty$）。
    3. 原积分 $=\dfrac{0-1}{1-p}=\dfrac1{p-1}$。
  4. 第六节 4
    广义积分 $\displaystyle\int_{-\infty}^0\dfrac{e^x}{1+e^x}dx=$　______。
    答案：$\ln2$
    1. 注意到 $\dfrac{e^x}{1+e^x}=\dfrac{d}{dx}\ln(1+e^x)$，因此 $\displaystyle\int_{-a}^0\dfrac{e^x}{1+e^x}dx=\ln2-\ln(1+e^{-a})$。
    2. 当 $a\to+\infty$ 时，$e^{-a}\to0$，所以 $\ln(1+e^{-a})\to\ln1=0$。
    3. 故原反常积分收敛，值为 $\ln2$。
  5. 第六节 5
    已知 $\left(1+\dfrac2x\right)^x$ 是函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内的一个原函数。（1）求 $f(x)$；（2）计算 $\displaystyle\int_1^{+\infty}f(2x)dx$。
    答案：（1）$f(x)=\left(1+\dfrac2x\right)^x\left[\ln\left(1+\dfrac2x\right)-\dfrac2{x+2}\right]$；（2）$\dfrac{e^2-4}{2}$
    1. 设 $F(x)=\left(1+\dfrac2x\right)^x$。取对数得 $\ln F(x)=x\ln\left(1+\dfrac2x\right)$。
    2. 两边求导：$\dfrac{F'(x)}{F(x)}=\ln\left(1+\dfrac2x\right)+x\cdot\dfrac{-2/x^2}{1+2/x}=\ln\left(1+\dfrac2x\right)-\dfrac2{x+2}$。
    3. 因 $F$ 是 $f$ 的原函数，$f(x)=F'(x)=\left(1+\dfrac2x\right)^x\left[\ln\left(1+\dfrac2x\right)-\dfrac2{x+2}\right]$。
    4. 令 $t=2x$，则 $\displaystyle\int_1^{+\infty}f(2x)dx=\dfrac12\int_2^{+\infty}f(t)dt=\dfrac12\left[F(t)\right]_2^{+\infty}$。
    5. 由重要极限，$\displaystyle\lim_{t\to+\infty}\left(1+\dfrac2t\right)^t=e^2$；又 $F(2)=2^2=4$。所以原积分 $=\dfrac12(e^2-4)$。

第七节 定积分的应用 · 经典练习（共 5 题）

  1. 经典练习 1
    由曲线 $y=\dfrac1x$ 和直线 $x=1$、$x=2$ 及 $y=0$ 围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所构成的几何体的体积 $V=$　______。
    答案：$\dfrac\pi2$
    1. 取 $x$ 为积分变量，截面半径 $R(x)=\dfrac1x$，且 $1\le x\le2$。
    2. 圆盘法：$V=\pi\int_1^2\left(\dfrac1x\right)^2dx=\pi\int_1^2x^{-2}dx$。
    3. $V=\pi\left[-\dfrac1x\right]_1^2=\pi\left(-\dfrac12+1\right)=\dfrac\pi2$。
  2. 经典练习 2
    求由曲线 $y=x\cos2x$ 和直线 $y=0$、$x=0$ 及 $x=\dfrac\pi4$ 围成的平面图形的面积。
    答案：$\dfrac\pi8-\dfrac14$
    1. 在 $0\le x\le\dfrac\pi4$ 上，$0\le2x\le\dfrac\pi2$，所以 $x\cos2x\ge0$，面积 $A=\int_0^{\pi/4}x\cos2x\,dx$。
    2. 分部积分：$\displaystyle\int x\cos2x\,dx=\dfrac x2\sin2x+\dfrac14\cos2x+C$。
    3. 因而 $A=\left[\dfrac x2\sin2x+\dfrac14\cos2x\right]_0^{\pi/4}$。
    4. 代入上限得 $\dfrac\pi8$，代入下限得 $\dfrac14$，故 $A=\dfrac\pi8-\dfrac14$。
  3. 经典练习 3
    设平面图形由曲线 $y=x^3$ 与直线 $y=0$ 及 $x=2$ 围成，求该图形绕 $y$ 轴旋转一周所得的旋转体体积。
    答案：$\dfrac{64\pi}{5}$
    1. 绕 $y$ 轴旋转，采用柱壳法。在 $x$ 处，柱壳半径为 $x$，高为 $y=x^3$，厚度为 $dx$。
    2. 体积微元 $dV=2\pi x\cdot x^3\,dx=2\pi x^4dx$，积分区间为 $0\le x\le2$。
    3. $V=2\pi\int_0^2x^4dx=2\pi\left[\dfrac{x^5}{5}\right]_0^2=\dfrac{64\pi}{5}$。
  4. 经典练习 4
    设函数 $f(x)=\dfrac23x^{3/2}$。（1）求曲线 $y=f(x)$ 上相应于 $0\le x\le1$ 的弧段长度 $s$；（2）求由曲线 $y=f(x)$ 和直线 $x=0$、$x=1$ 及 $y=0$ 围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转所得的旋转体体积 $V_x$。
    答案：（1）$s=\dfrac{4\sqrt2-2}{3}$；（2）$V_x=\dfrac\pi9$
    1. $f'(x)=x^{1/2}=\sqrt x$，所以弧长 $s=\int_0^1\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx=\int_0^1\sqrt{1+x}\,dx$。
    2. 计算弧长：$s=\left[\dfrac23(1+x)^{3/2}\right]_0^1=\dfrac23(2^{3/2}-1)=\dfrac{4\sqrt2-2}{3}$。
    3. 绕 $x$ 轴旋转的截面半径为 $f(x)=\dfrac23x^{3/2}$，所以 $V_x=\pi\int_0^1\dfrac49x^3dx$。
    4. $V_x=\dfrac{4\pi}{9}\left[\dfrac{x^4}{4}\right]_0^1=\dfrac\pi9$。
  5. 经典练习 5
    过坐标原点作曲线 $y=e^x$ 的切线 $l$，切线 $l$ 与曲线 $y=e^x$ 及 $y$ 轴围成的平面图形记为 $G$。求：（1）切线 $l$ 的方程；（2）$G$ 的面积；（3）$G$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。
    答案：（1）$y=ex$；（2）$\dfrac e2-1$；（3）$\dfrac{\pi(e^2-3)}6$
    1. 设切点横坐标为 $x_0$。曲线在切点处的斜率为 $e^{x_0}$，切线方程为 $y-e^{x_0}=e^{x_0}(x-x_0)$。
    2. 切线经过原点，代入 $(0,0)$：$-e^{x_0}=-x_0e^{x_0}$，故 $x_0=1$。切点为 $(1,e)$，切线为 $y=ex$。
    3. 在 $0\le x\le1$ 上，$e^x\ge ex$，所以 $S_G=\int_0^1(e^x-ex)dx=\left[e^x-\dfrac e2x^2\right]_0^1=e-\dfrac e2-1=\dfrac e2-1$。
    4. 绕 $x$ 轴旋转时，用垫片法：$V=\pi\int_0^1[(e^x)^2-(ex)^2]dx=\pi\int_0^1(e^{2x}-e^2x^2)dx$。
    5. $V=\pi\left[\dfrac12e^{2x}-\dfrac{e^2}{3}x^3\right]_0^1=\pi\left(\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e^2}{3}-\dfrac12\right)=\dfrac{\pi(e^2-3)}6$。

第七节 定积分的应用 · 单项选择题（共 3 题）

  1. 单项选择题 1
    曲线 $y=x(x-1)(2-x)$ 与 $x$ 轴所围成图形的面积可以表示为（　　）
    A. $-\displaystyle\int_0^2x(x-1)(2-x)dx$B. $\displaystyle\int_0^1x(x-1)(2-x)dx-\int_1^2x(x-1)(2-x)dx$C. $-\displaystyle\int_0^1x(x-1)(2-x)dx+\int_1^2x(x-1)(2-x)dx$D. $\displaystyle\int_0^2x(x-1)(2-x)dx$
    答案：C
    1. 曲线与 $x$ 轴交于 $x=0,1,2$。在 $(0,1)$ 上，$x>0$、$x-1<0$、$2-x>0$，故 $y<0$。
    2. 在 $(1,2)$ 上，三个因式均为正，故 $y>0$。
    3. 面积为 $-\int_0^1x(x-1)(2-x)dx+\int_1^2x(x-1)(2-x)dx$，故选 C。
  2. 单项选择题 2
    设 $D$ 是由 $y=x^2$ 和 $y=x$ 所围成的平面图形，其面积 $A=$（　　）
    A. $\dfrac12$B. $\dfrac16$C. $\dfrac13$D. $1$
    答案：B
    1. 联立 $y=x^2$ 与 $y=x$，得 $x=0$ 或 $x=1$。
    2. 在 $0<x<1$ 上，$x>x^2$，所以 $A=\int_0^1(x-x^2)dx$。
    3. $A=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16$。
  3. 单项选择题 3
    由曲线 $y=\cos^{3/2}x\left(-\dfrac\pi2\le x\le\dfrac\pi2\right)$ 与 $x$ 轴围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的立体体积是（　　）
    A. $\dfrac43$B. $\dfrac{4\pi}{3}$C. $\dfrac23\pi^2$D. $\dfrac23\pi$
    答案：B
    1. 截面半径为 $y=\cos^{3/2}x$，其平方为 $\cos^3x$。
    2. $V=\pi\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^3x\,dx$。被积函数为偶函数，故 $V=2\pi\int_0^{\pi/2}\cos^3x\,dx$。
    3. 利用 $\int_0^{\pi/2}\cos^3x\,dx=\dfrac23$，得 $V=2\pi\cdot\dfrac23=\dfrac{4\pi}{3}$。

第七节 定积分的应用 · 填空题（共 7 题）

  1. 填空题 1
    设 $D$ 是由 $xy+1=0$、$y+x=0$ 和 $y=2$ 围成的有界区域，则 $D$ 的面积为　______。
    答案：$\dfrac32-\ln2$
    1. 三式分别化为 $y=-\dfrac1x$、$y=-x$、$y=2$。两条曲线 $y=-x$ 与 $y=-\dfrac1x$ 的交点为 $(-1,1)$。
    2. 另有交点 $(-2,2)$ 与 $\left(-\dfrac12,2\right)$。取 $y$ 为积分变量，$1\le y\le2$，右边界为 $x=-\dfrac1y$，左边界为 $x=-y$。
    3. $S=\int_1^2\left[-\dfrac1y-(-y)\right]dy=\int_1^2\left(y-\dfrac1y\right)dy$。
    4. $S=\left[\dfrac{y^2}{2}-\ln y\right]_1^2=\left(2-\ln2\right)-\dfrac12=\dfrac32-\ln2$。
  2. 填空题 2
    曲线 $y=e^x$、$y=e^{-x}$ 及直线 $x=1$ 所围成图形的面积是　______。
    答案：$e+e^{-1}-2$
    1. 两曲线交于 $x=0$。在 $0\le x\le1$ 上，$e^x\ge e^{-x}$。
    2. $S=\int_0^1(e^x-e^{-x})dx=\left[e^x+e^{-x}\right]_0^1$。
    3. $S=(e+e^{-1})-2=e+e^{-1}-2$。
  3. 填空题 3
    若抛物线 $y^2=ax(a>0)$ 与 $x=1$ 所围图形在第一象限的面积为 $\dfrac23$，则 $a=$　______。
    答案：$1$
    1. 第一象限内曲线为 $y=\sqrt a\sqrt x$，积分区间为 $0\le x\le1$。
    2. 面积 $S=\sqrt a\int_0^1x^{1/2}dx=\sqrt a\cdot\dfrac23$。
    3. 由 $S=\dfrac23$ 得 $\sqrt a=1$，所以 $a=1$。
  4. 填空题 4
    曲线 $y=2^x$ 与直线 $x+2y=2$、$x=2$ 所围图形的面积为　______。
    答案：$\dfrac3{\ln2}-1$
    1. 直线写成 $y=1-\dfrac x2$。它与 $y=2^x$ 在 $x=0$ 处相交：两者都等于 $1$。
    2. 在 $0\le x\le2$ 上，$2^x$ 为下凹递增曲线，故 $2^x\ge1-\dfrac x2$。
    3. $S=\int_0^2\left(2^x-1+\dfrac x2\right)dx=\left[\dfrac{2^x}{\ln2}-x+\dfrac{x^2}{4}\right]_0^2$。
    4. $S=\left(\dfrac4{\ln2}-2+1\right)-\dfrac1{\ln2}=\dfrac3{\ln2}-1$。
  5. 填空题 5
    由抛物线 $y=x^2$ 和直线 $y=2x$ 所围成的平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所成的旋转体的体积为　______。
    答案：$\dfrac{8\pi}{3}$
    1. 联立 $y=x^2$ 与 $y=2x$，得 $x=0$ 或 $x=2$。在 $0<x<2$ 上，$2x>x^2$。
    2. 绕 $y$ 轴用柱壳法：$V=2\pi\int_0^2x(2x-x^2)dx$。
    3. $V=2\pi\int_0^2(2x^2-x^3)dx=2\pi\left[\dfrac{2x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}\right]_0^2$。
    4. $V=2\pi\left(\dfrac{16}{3}-4\right)=\dfrac{8\pi}{3}$。
  6. 填空题 6
    由 $y=x^3$ 与 $y=\sqrt x$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为　______。
    答案：$\dfrac{5\pi}{14}$
    1. 联立 $x^3=\sqrt x$，在非负区间得交点 $x=0$ 和 $x=1$。在 $(0,1)$ 上，$\sqrt x>x^3$。
    2. 绕 $x$ 轴用垫片法：$V=\pi\int_0^1[(\sqrt x)^2-(x^3)^2]dx=\pi\int_0^1(x-x^6)dx$。
    3. $V=\pi\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^7}{7}\right]_0^1=\pi\left(\dfrac12-\dfrac17\right)=\dfrac{5\pi}{14}$。
  7. 填空题 7
    由曲线 $y=(x-1)^3$、$x$ 轴和直线 $x=2$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积为　______。
    答案：$\dfrac\pi7$
    1. 曲线与 $x$ 轴交于 $x=1$，所围图形对应积分区间 $1\le x\le2$。
    2. $V=\pi\int_1^2[(x-1)^3]^2dx=\pi\int_1^2(x-1)^6dx$。
    3. $V=\pi\left[\dfrac{(x-1)^7}{7}\right]_1^2=\dfrac\pi7$。

第七节 定积分的应用 · 计算题（共 8 题）

  1. 计算题 1
    求由曲线 $y=x^2(x\ge0)$、直线 $y=1$、$y$ 轴围成的平面图形的面积。
    答案：$\dfrac23$
    1. 曲线 $y=x^2$ 与直线 $y=1$ 在第一象限交于 $x=1$，故区域对应 $0\le x\le1$。
    2. 在该区间内上边界为 $y=1$，下边界为 $y=x^2$，所以 $S=\int_0^1(1-x^2)dx$。
    3. $S=\left[x-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=1-\dfrac13=\dfrac23$。
  2. 计算题 2
    求曲线 $y=e^{-x}$ 与直线 $y=0$ 之间位于第一象限的平面图形的面积。
    答案：$1$
    1. 第一象限对应 $x>0$。曲线始终在 $x$ 轴上方，面积为反常积分 $\int_0^{+\infty}e^{-x}dx$。
    2. $\int_0^be^{-x}dx=1-e^{-b}$，令 $b\to+\infty$ 得面积为 $1$。
    3. 该区域虽向右无限延伸，但面积收敛。
  3. 计算题 3
    计算由抛物线 $y=x^2-1$ 与 $y=7-x^2$ 所围成的平面图形的面积。
    答案：$\dfrac{64}{3}$
    1. 联立 $x^2-1=7-x^2$，得 $2x^2=8$，故交点横坐标为 $x=\pm2$。
    2. 在 $[-2,2]$ 上，$7-x^2>x^2-1$，两条曲线的竖直距离为 $(7-x^2)-(x^2-1)=8-2x^2$。
    3. 利用偶函数：$S=2\int_0^2(8-2x^2)dx=2\left[8x-\dfrac{2x^3}{3}\right]_0^2$。
    4. $S=2\left(16-\dfrac{16}{3}\right)=2\cdot\dfrac{32}{3}=\dfrac{64}{3}$。
  4. 计算题 4
    若曲线 $y=ax-x^2(a>0)$ 与 $x$ 轴围成的平面图形被曲线 $y=bx^2(b>0)$ 分成面积相等的两部分，求 $a,b$ 的值。
    答案：题面条件只能确定 $b=\sqrt2-1$；$a$ 可为任意正数，原题缺少确定 $a$ 的条件
    1. $y=ax-x^2=x(a-x)$ 与 $x$ 轴交于 $0,a$，整个图形面积 $S=\int_0^a(ax-x^2)dx=\dfrac{a^3}{6}$。
    2. 两曲线除原点外的交点为 $ax-x^2=bx^2$，即 $x=\dfrac a{1+b}$。在 $0\le x\le\dfrac a{1+b}$ 上，$ax-x^2\ge bx^2$。
    3. 被分出的一块面积为 $S_1=\int_0^{a/(1+b)}[ax-(1+b)x^2]dx=\dfrac{a^3}{6(1+b)^2}$。
    4. 平分整块面积要求 $S_1=\dfrac S2$，即 $\dfrac{a^3}{6(1+b)^2}=\dfrac{a^3}{12}$，从而 $(1+b)^2=2$，$b=\sqrt2-1$。
    5. 上述条件中 $a$ 被约去，任何 $a>0$ 都满足面积平分，因此原题若要求唯一的 $a,b$ 值，题面还缺少一个条件；这里如实指出扫描题的这一印刷或条件问题。
  5. 计算题 5
    求函数 $y=e^x$ 在闭区间 $[0,1]$ 上的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。
    答案：$\dfrac{\pi(e^2-1)}2$
    1. 绕 $x$ 轴旋转时截面半径为 $e^x$，积分区间为 $0\le x\le1$。
    2. $V=\pi\int_0^1(e^x)^2dx=\pi\int_0^1e^{2x}dx$。
    3. $V=\pi\left[\dfrac12e^{2x}\right]_0^1=\dfrac{\pi(e^2-1)}2$。
  6. 计算题 6
    设曲线 $x=y+e^y$、直线 $x=y$、$y=1$、$y=2$ 围成一平面图形 $B$，求图形 $B$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得的旋转体体积 $V_y$。
    答案：$\dfrac{\pi(e^4+3e^2)}2$
    1. 固定 $y\in[1,2]$，比较两个横坐标。因 $e^y>0$，有 $y+e^y>y$，故外半径为 $R=y+e^y$，内半径为 $r=y$。
    2. 垫片法：$V_y=\pi\int_1^2[(y+e^y)^2-y^2]dy=\pi\int_1^2(2ye^y+e^{2y})dy$。
    3. 原函数为 $2e^y(y-1)+\dfrac12e^{2y}$。代入上限 $2$：$2e^2+\dfrac12e^4$；代入下限 $1$：$\dfrac12e^2$。
    4. 相减得 $V_y=\pi\left(\dfrac32e^2+\dfrac12e^4-\dfrac12e^2\right)=\dfrac{\pi(e^4+3e^2)}2$。
  7. 计算题 7
    求曲线 $y=4-x^2$ 与 $x$ 轴所围成的平面图形分别绕 $x$ 轴、$y$ 轴旋转一周而成的旋转体体积 $V_x$、$V_y$。
    答案：$V_x=\dfrac{512\pi}{15}$，$V_y=8\pi$
    1. 曲线与 $x$ 轴交于 $x=\pm2$。绕 $x$ 轴旋转时，$V_x=\pi\int_{-2}^2(4-x^2)^2dx$。
    2. 展开被积函数：$(4-x^2)^2=16-8x^2+x^4$，所以 $V_x=\pi\left[16x-\dfrac83x^3+\dfrac15x^5\right]_{-2}^2$。
    3. 代入并化简：$V_x=2\pi\left(32-\dfrac{64}{3}+\dfrac{32}{5}\right)=2\pi\cdot\dfrac{256}{15}=\dfrac{512\pi}{15}$。
    4. 绕 $y$ 轴用柱壳法。利用关于 $y$ 轴对称，取右半区域 $0\le x\le2$：$V_y=2\pi\int_0^2x(4-x^2)dx$。
    5. $V_y=2\pi\left[2x^2-\dfrac{x^4}{4}\right]_0^2=2\pi(8-4)=8\pi$。
  8. 计算题 8
    曲线 $y=x^3(x\ge0)$、直线 $x+y=2$ 以及 $y$ 轴围成一平面图形 $D$，试求平面图形 $D$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。
    答案：$\dfrac{14\pi}{15}$
    1. 曲线 $y=x^3$ 与直线 $y=2-x$ 的交点为 $x=1$。区域右边界在 $0\le y\le1$ 时为 $x=y^{1/3}$，在 $1\le y\le2$ 时为 $x=2-y$。
    2. 绕 $y$ 轴用圆盘法：$V=\pi\int_0^1(y^{1/3})^2dy+\pi\int_1^2(2-y)^2dy$。
    3. 计算得 $V=\pi\left[\dfrac{3y^{5/3}}5\right]_0^1+\pi\left[-\dfrac{(2-y)^3}{3}\right]_1^2$。
    4. $V=\dfrac{3\pi}{5}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{14\pi}{15}$。